Рассмотрим пространство
L
2
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle L_{2}[-\pi ;\pi ]}
функций с интегрируемым квадратом на отрезке
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle [-\pi ;\pi ]}
f
(
x
)
∈
L
2
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle f(x)\in L_{2}[-\pi ;\pi ]}
В рассматриваемом пространстве функции
1
,
cos
(
n
x
)
,
sin
(
n
x
)
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle ~1,~\cos(nx),~\sin(nx),~n=1,2,...}
образуют ортогональную систему функций, которую называют тригонометрической .
Ряд вида
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
)
{\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)}
называют (тригонометрическим) рядом Фурье функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
a
0
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
cos
(
n
x
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)f(x)dx}
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
sin
(
n
x
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)f(x)dx}
Можно считать, что мы рассматриваем не функции, заданные на отрезке
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle [-\pi ;\pi ]}
f
(
−
π
)
=
f
(
π
)
{\displaystyle f(-\pi )=f(\pi )}
так как функции, различающиеся значениями в одной точке, являются эквивалентными и не различаются в пространстве
L
2
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle L_{2}[-\pi ;\pi ]}
Так как функции тригонометрической системы ограничены на всей числовой прямой, то формулы, определяющие коэффициенты ряда Фурье, имеют смысл для любой суммируемой функции. Таким образом, каждой суммируемой функции
f
(
x
)
∈
L
1
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle f(x)\in L_{1}[-\pi ;\pi ]}
f
(
x
)
→
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)}
править
С помощью формул Эйлера тригонометрические функции можно выразить через экспоненциальную следующим образом:
cos
(
n
x
)
=
e
i
n
x
+
e
−
i
n
x
2
{\displaystyle \cos(nx)={{e^{inx}+e^{-inx}} \over 2}}
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
2
i
=
−
i
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
2
{\displaystyle \sin(nx)={{e^{inx}-e^{-inx}} \over {2i}}=-i{{e^{inx}-e^{-inx}} \over 2}}
Преобразуем ряд Фурье, используя эти выражения:
Φ
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
c
o
s
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
b
x
)
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
e
i
n
x
+
e
−
i
n
x
2
−
i
b
n
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
2
)
{\displaystyle \Phi (x)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(nx)+b_{n}\sin(bx)\right)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}{{e^{inx}+e^{-inx}} \over 2}-ib_{n}{{e^{inx}-e^{-inx}} \over 2}\right)}
Перегруппируем слагаемые:
Φ
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
−
i
b
n
2
e
i
n
x
+
a
n
+
i
b
n
2
e
−
i
n
x
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
n
x
{\displaystyle \Phi (x)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({{a_{n}-ib_{n}} \over 2}e^{inx}+{{a_{n}+ib_{n}} \over 2}e^{-inx}\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}}
где
c
0
=
a
0
2
{\displaystyle c_{0}={a_{0} \over 2}}
а при
n
>
0
{\displaystyle n>0}
c
n
=
a
n
−
i
b
n
2
{\displaystyle c_{n}={{a_{n}-ib_{n}} \over 2}}
c
−
n
=
a
n
+
i
b
n
2
{\displaystyle c_{-n}={{a_{n}+ib_{n}} \over 2}}
Подставляя интегральные выражения для
a
n
{\displaystyle a_{n}}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
c
n
{\displaystyle c_{n}}
c
n
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
,
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
.
.
.
{\displaystyle c_{n}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,~n=0,\pm 1,\pm 2,...}
Выражение
Φ
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
n
x
{\displaystyle \Phi (x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}}
называется (тригонометрическим) рядом Фурье в комплексной форме .
Функции
e
i
n
x
{\displaystyle e^{inx}}
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
∫
−
π
π
e
i
n
x
(
e
i
m
x
)
∗
d
x
=
∫
−
π
π
e
i
(
n
−
m
)
x
d
x
=
∫
−
π
π
cos
(
[
n
−
m
]
x
)
+
i
sin
(
[
n
−
m
]
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{inx}\left(e^{imx}\right)^{*}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)x}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos([n-m]x)+i\sin([n-m]x)dx=0}
Экспоненциальные функция оказывается более удобной, чем тригонометрические, так как экспонента удовлетворяет простым
дифференциальным
d
e
a
x
d
x
=
a
e
a
x
{\displaystyle {{de^{ax}} \over dx}=ae^{ax}}
и функциональным уравнениям
e
x
+
y
=
e
x
⋅
e
y
{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}
Из соображений удобства (упрощение выкладок) будем в дальнейшем использовать ряд Фурье в комплексной форме.
Рассмотрим частные суммы ряда Фурье:
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
c
k
e
i
k
x
{\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}}
Подставим вместо коэффициентов
c
k
{\displaystyle c_{k}}
c
k
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
{\displaystyle c_{k}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt}
получим
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
e
i
k
x
{\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dte^{ikx}}
Сменим порядок суммирования и интегрирования:
S
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
t
−
x
)
d
t
{\displaystyle S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(t-x)}dt}
Сделаем замену
z
=
t
−
x
{\displaystyle z=t-x}
так как мы условились считать, что функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
S
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
z
)
d
z
{\displaystyle S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}dz}
Вычислим сумму, стоящую под знаком интеграла, по формуле суммы геометрической прогрессии :
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
z
)
=
e
i
n
z
1
−
e
−
i
(
2
n
+
1
)
z
1
−
e
−
i
z
=
e
i
n
z
−
e
−
i
(
n
+
1
)
z
1
−
e
−
i
z
{\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}=e^{inz}{{1-e^{-i(2n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}={{e^{inz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}}
Умножив числитель и знаменатель последней дроби на
e
i
z
2
{\displaystyle e^{{iz} \over 2}}
получим
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
z
)
=
e
i
(
n
+
1
2
)
z
−
e
−
i
(
n
+
1
2
)
z
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
=
sin
(
2
n
+
1
2
z
)
sin
(
z
2
)
{\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}={{e^{i(n+{1 \over 2})z}-e^{-i(n+{1 \over 2})z}} \over {e^{{iz} \over 2}-e^{-{{iz} \over 2}}}}={{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}}
Таким образом
S
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
sin
(
2
n
+
1
2
z
)
sin
(
z
2
)
d
z
{\displaystyle S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z){{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}dz}
Данное выражение для частных сумм ряда Фурье называется интегралом Дирихле .
Функция вида
D
n
(
x
)
=
1
2
π
sin
(
2
n
+
1
2
z
)
sin
(
z
2
)
=
1
2
π
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
z
)
{\displaystyle D_{n}(x)={1 \over {2\pi }}{{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}={1 \over {2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}}
называется ядром Дирихле .
По определению ядра Дирихле:
∫
−
π
π
D
n
(
z
)
d
z
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)dz=1}
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
D
n
(
z
)
d
z
=
S
n
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)D_{n}(z)dz=S_{n}(x)}
Используя это равенство, запишем разность функции и частной суммы соответствующего ряда Фурье в виде
S
n
(
x
)
−
f
(
x
)
=
∫
−
π
π
D
n
(
z
)
f
(
x
+
z
)
d
z
−
f
(
x
)
∫
−
π
π
D
n
(
z
)
d
z
=
∫
−
π
π
[
f
(
x
+
z
)
−
f
(
x
)
]
D
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle S_{n}(x)-f(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)f(x+z)dz-f(x)\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)dz=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x+z)-f(x)]D_{n}(z)dz}
править
править
Рассмотрим непрерывную на всей числовой прямой функцию
f
{\displaystyle f}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
S
k
(
x
)
=
∑
r
=
−
k
k
c
r
e
i
r
x
{\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{r=-k}^{k}c_{r}e^{irx}}
Положим
σ
n
(
x
)
=
1
n
∑
k
=
0
n
−
1
S
k
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={1 \over n}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(x)}
Средние арифметические
σ
n
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)}
суммами Фейера .
Найдём интегральное представление для сумм Фейера, аналогичное интегралу Дирихле.
Используем интегральное представление частичных сумм:
S
k
(
x
)
=
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
D
k
(
z
)
d
z
{\displaystyle S_{k}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)D_{k}(z)dz}
Подставим эти выражения в определение сумм Фейера:
σ
n
(
x
)
=
1
n
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
∑
k
=
0
n
−
1
D
k
(
z
)
d
z
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={1 \over {n}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)dz}
При выводе интеграла Дирихле, была получена следующая формула:
∑
k
=
−
n
n
e
−
i
k
(
z
)
=
e
i
n
z
−
e
−
i
(
n
+
1
)
z
1
−
e
−
i
z
{\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}={{e^{inz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}}
поэтому можно написать:
2
π
∑
k
=
0
n
−
1
D
k
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
e
i
k
z
−
e
−
i
(
k
+
1
)
z
1
−
e
−
i
z
=
1
1
−
e
−
i
z
(
∑
k
=
0
n
−
1
e
i
k
z
−
∑
k
=
0
n
−
1
e
−
i
(
k
+
1
)
z
)
{\displaystyle 2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{{e^{ikz}-e^{-i(k+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}={1 \over {1-e^{-iz}}}\left({}{\sum _{k=0}^{n-1}e^{ikz}-\sum _{k=0}^{n-1}e^{-i(k+1)z}}\right)}
По формуле суммы геометрической прогрессии :
∑
k
=
0
n
−
1
e
i
k
z
=
1
−
e
i
n
z
1
−
e
i
z
=
e
−
i
z
2
1
−
e
i
n
z
e
−
i
z
2
−
e
i
z
2
=
e
−
i
z
2
e
i
n
z
−
1
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{ikz}={{1-e^{inz}} \over {1-e^{iz}}}=e^{-i{z \over 2}}{{1-e^{inz}} \over {e^{-i{z \over 2}}-e^{i{z \over 2}}}}=e^{-i{z \over 2}}{{e^{inz}-1} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}}
∑
k
=
0
n
−
1
e
−
i
(
k
+
1
)
z
=
e
−
i
z
−
e
−
i
(
n
+
1
)
z
1
−
e
−
i
z
=
e
i
z
2
e
−
i
z
−
e
−
i
(
n
+
1
)
z
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{-i(k+1)z}={{e^{-iz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}=e^{i{z \over 2}}{{e^{-iz}-e^{-i(n+1)z}} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}}
Так как
1
1
−
e
−
i
z
=
e
i
z
2
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
{\displaystyle {1 \over {1-e^{-iz}}}={e^{i{z \over 2}} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}}
то
2
π
∑
k
=
0
n
−
1
D
k
(
z
)
=
(
e
i
n
z
−
1
)
−
(
1
−
e
−
i
n
z
)
(
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
)
2
=
e
i
n
z
+
e
−
i
n
z
−
2
(
e
i
z
2
−
e
−
i
z
2
)
2
{\displaystyle 2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)={{\left(e^{inz}-1\right)-\left(1-e^{-inz}\right)} \over {\left(e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}\right)^{2}}}={{e^{inz}+e^{-inz}-2} \over {\left(e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}\right)^{2}}}}
Воспользуемся формулами, выражающим тригонометрические функции через экспоненциальные:
cos
(
u
)
=
e
u
+
e
−
u
2
{\displaystyle \cos(u)={{e^{u}+e^{-u}} \over 2}}
sin
(
u
)
=
−
i
e
u
−
e
−
u
2
{\displaystyle \sin(u)=-i{{e^{u}-e^{-u}} \over 2}}
получим:
2
π
∑
k
=
0
n
−
1
D
k
(
z
)
=
2
cos
(
n
z
)
−
1
(
2
i
sin
z
2
)
2
=
1
−
cos
(
n
z
)
2
sin
2
z
2
=
cos
2
n
z
2
+
sin
2
n
z
2
−
cos
2
n
z
2
+
sin
2
n
z
2
2
sin
2
z
2
=
sin
2
n
z
2
sin
2
z
2
{\displaystyle 2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)=2{{\cos(nz)-1} \over {\left(2i\sin {z \over 2}\right)^{2}}}={{1-\cos(nz)} \over {2\sin ^{2}{z \over 2}}}={{\cos ^{2}{{nz} \over 2}+\sin ^{2}{{nz} \over 2}-\cos ^{2}{{nz} \over 2}+\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {2\sin ^{2}{z \over 2}}}={{\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {\sin ^{2}{z \over 2}}}}
Полученное равенство позволяет записать следующее интегральное выражение для сумм Фейера:
σ
n
(
x
)
=
1
2
π
n
∫
−
π
π
f
(
x
+
z
)
sin
2
n
z
2
sin
2
z
2
d
z
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={1 \over {2\pi n}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z){{\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {\sin ^{2}{z \over 2}}}dz}
это выражение называется интегралом Фейера .
Функция
Φ
n
(
z
)
=
1
n
∑
k
=
0
n
−
1
D
k
(
z
)
=
1
2
π
n
(
sin
n
z
2
sin
z
2
)
2
{\displaystyle \Phi _{n}(z)={1 \over n}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)={1 \over {2\pi n}}\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}}
называется ядром Фейера . Укажем некоторые свойства ядра Фейера.
Во-первых, ядро Фейера, по определению, не меньше нуля:
Φ
n
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \Phi _{n}(x)\geq 0}
Во-вторых, имеет место равенство
∫
−
π
π
Φ
n
(
z
)
d
z
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz=1}
которое следует из определения ядра Фейера и равенства:
∫
−
π
π
D
k
(
z
)
d
z
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{k}(z)dz=1}
Данное свойство позволяет записать разность функции и соответствующей суммы Фейера следующим образом
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
=
∫
−
π
π
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
Введём для любого вещественного числа
0
<
δ
<
π
{\displaystyle 0<\delta <\pi }
η
n
(
δ
)
=
∫
−
π
−
δ
Φ
n
(
z
)
d
z
=
∫
δ
π
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle \eta _{n}(\delta )=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz}
тогда
lim
n
→
∞
η
n
(
δ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0}
Для доказательства этого факта заметим, что при
δ
<
z
<
π
{\displaystyle \delta <z<\pi }
выполняется неравенство
sin
z
≥
δ
π
{\displaystyle \sin {z}\geq {{\delta } \over {\pi }}}
Кроме того,
|
sin
(
n
z
)
|
≤
1
{\displaystyle |\sin(nz)|\leq 1}
(
sin
n
z
2
sin
z
2
)
2
≤
(
π
2
δ
)
2
{\displaystyle \left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}\leq \left({{\pi } \over {2\delta }}\right)^{2}}
Таким образом
Φ
n
(
z
)
=
1
2
π
n
(
sin
n
z
2
sin
z
2
)
2
≤
1
n
π
8
δ
2
{\displaystyle \Phi _{n}(z)={1 \over {2\pi n}}\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}\leq {{1} \over {n}}{{\pi } \over {8\delta ^{2}}}}
из этой оценки и
Φ
(
z
)
>
0
{\displaystyle \Phi (z)>0}
lim
n
→
∞
η
n
(
δ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0}
Следующая теорема даёт способ восстановление функции по её ряду Фурье.
Теорема Фейера. Если
f
{\displaystyle f}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
{
σ
n
}
{\displaystyle \{\sigma _{n}\}}
f
{\displaystyle f}
Доказательство.
Так как функция
f
{\displaystyle f}
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
|
f
(
x
)
|
≤
M
{\displaystyle |f(x)|\leq M}
и для каждого вещественного числа
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
2
−
x
1
|
<
δ
{\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta }
вытекает неравенство
|
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
|
<
ϵ
2
{\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|<{\epsilon \over 2}}
Для доказательства данной теоремы достаточно доказать, что интеграл
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
=
∫
−
π
π
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
сходится при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
Данный интеграл можно представить в виде суммы трёх интегралов
∫
−
π
π
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
=
I
−
+
I
0
+
I
+
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz=I_{-}+I_{0}+I_{+}}
где
I
−
=
∫
−
π
−
δ
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle I_{-}=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
I
0
=
∫
−
δ
δ
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle I_{0}=\int \limits _{-\delta }^{\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
I
+
=
∫
δ
π
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle I_{+}=\int \limits _{\delta }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
Оценим эти интегралы:
|
I
−
|
≤
2
M
∫
−
π
−
δ
Φ
n
(
z
)
d
z
=
2
M
η
(
δ
)
{\displaystyle |I_{-}|\leq 2M\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=2M\eta (\delta )}
|
I
0
|
≤
∫
−
δ
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
≤
ϵ
2
∫
−
δ
δ
Φ
n
(
z
)
d
z
≤
ϵ
2
∫
−
π
π
Φ
n
(
z
)
d
z
=
ϵ
2
{\displaystyle |I_{0}|\leq \int \limits _{-\delta }^{\delta }|f(x)-f(x+z)|\Phi _{n}(z)dz\leq {\epsilon \over 2}\int \limits _{-\delta }^{\delta }\Phi _{n}(z)dz\leq {\epsilon \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz={\epsilon \over 2}}
|
I
−
|
≤
2
M
∫
δ
π
Φ
n
(
z
)
d
z
=
2
M
η
(
δ
)
{\displaystyle |I_{-}|\leq 2M\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz=2M\eta (\delta )}
Так как
lim
n
→
∞
η
n
(
δ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
2
M
η
n
(
δ
)
<
ϵ
4
{\displaystyle 2M\eta _{n}\left(\delta \right)<{\epsilon \over 4}}
а следовательно будет справедлива оценка
|
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
|
≤
ϵ
4
+
ϵ
2
+
ϵ
4
=
ϵ
{\displaystyle |f(x)-\sigma _{n}(x)|\leq {\epsilon \over 4}+{\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 4}=\epsilon }
Так как это неравенство выполняется для всех
x
{\displaystyle x}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
lim
n
→
∞
|
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|f(x)-\sigma _{n}(x)|=0}
Что и требовалось доказать.
править
1
править
Теорема Если
f
{\displaystyle f}
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle \left[-\pi ;\pi \right]}
L
1
[
−
π
;
π
]
{\displaystyle L_{1}\left[-\pi ;\pi \right]}
Доказательство
Выше было доказано, что имеет место равенство
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
=
∫
−
π
π
[
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
]
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}
где
Φ
n
{\displaystyle \Phi _{n}}
Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что
lim
n
→
∞
∫
−
π
π
|
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
|
d
x
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|dx=0}
Так как
Φ
n
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \Phi _{n}\left(x\right)\geq 0}
то
J
n
=
∫
−
π
π
|
f
(
x
)
−
σ
n
(
x
)
|
d
x
≤
∫
−
π
π
∫
−
π
π
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
d
x
{\displaystyle J_{n}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|dx\leq \int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx}
Интеграл справа можно представить в виде суммы трёх интегралов:
J
n
=
J
n
−
+
J
n
+
+
J
n
0
{\displaystyle J_{n}=J_{n}^{-}+J_{n}^{+}+J_{n}^{0}}
где
J
n
−
=
∫
−
π
π
∫
−
π
−
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
d
x
{\displaystyle J_{n}^{-}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx}
J
n
0
=
∫
−
π
π
∫
−
δ
+
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
d
x
{\displaystyle J_{n}^{0}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx}
J
n
+
=
∫
−
π
π
∫
δ
π
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
d
x
{\displaystyle J_{n}^{+}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{\delta }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx}
В силу теоремы Фубини в этих интегралах можно изменить порядок интегрирования.
Поэтому
J
n
−
=
∫
−
π
−
δ
∫
−
π
π
(
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
d
x
)
Φ
n
(
z
)
d
z
{\displaystyle J_{n}^{-}=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left(\left|f(x)-f(x+z)\right|dx\right)\Phi _{n}(z)dz}
Рассмотрим внутренний интеграл:
∫
−
π
π
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
d
x
≤
∫
−
π
π
|
f
(
x
)
|
d
x
+
∫
−
π
π
|
f
(
x
+
z
)
|
d
x
=
2
⋅
‖
f
‖
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|dx\leq \int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)\right|dx+\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x+z)\right|dx=2\cdot \left\|f\right\|}
следовательно
J
n
−
≤
2
⋅
‖
f
‖
∫
−
π
−
δ
Φ
n
(
z
)
d
z
=
2
⋅
‖
f
‖
⋅
η
n
(
δ
)
{\displaystyle J_{n}^{-}\leq 2\cdot \left\|f\right\|\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=2\cdot \left\|f\right\|\cdot \eta _{n}\left(\delta \right)}
Аналогично можно показать, что имеет место оценка
J
n
+
≤
2
⋅
‖
f
‖
⋅
η
n
(
δ
)
{\displaystyle J_{n}^{+}\leq 2\cdot \left\|f\right\|\cdot \eta _{n}\left(\delta \right)}
Теперь рассмотрим интеграл
J
n
0
{\displaystyle J_{n}^{0}}
|
Φ
n
(
z
)
|
{\displaystyle \left|\Phi _{n}(z)\right|}
|
sin
(
n
α
)
|
<
n
|
sin
α
|
{\displaystyle \left|\sin(n\alpha )\right|<n\left|\sin \alpha \right|}
α
∈
[
0
;
π
2
]
{\displaystyle \alpha \in [0;{\frac {\pi }{2}}]}
|
Φ
n
(
z
)
|
=
1
2
π
n
|
sin
n
z
2
sin
z
2
|
2
≤
1
2
π
n
n
2
=
n
2
π
{\displaystyle \left|\Phi _{n}(z)\right|={\frac {1}{2\pi n}}\left|{\frac {\sin {\frac {nz}{2}}}{\sin {\frac {z}{2}}}}\right|^{2}\leq {\frac {1}{2\pi n}}n^{2}={\frac {n}{2\pi }}}
Поэтому для интеграла
J
n
0
{\displaystyle J_{n}^{0}}
J
n
0
=
∫
−
π
π
∫
−
δ
+
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
Φ
n
(
z
)
d
z
d
x
≤
n
2
π
∫
−
π
π
∫
−
δ
+
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
d
z
d
x
{\displaystyle J_{n}^{0}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx\leq {\frac {n}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|dzdx}
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, для любого
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
{\displaystyle \delta }
∫
−
δ
+
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
x
+
z
)
|
d
z
<
ϵ
{\displaystyle \int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|dz<\epsilon }
следовательно
J
n
0
≤
n
ϵ
2
π
∫
−
π
π
d
x
=
n
ϵ
{\displaystyle J_{n}^{0}\leq {\frac {n\epsilon }{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }dx=n\epsilon }
Таким образом
J
n
≤
4
η
n
(
δ
)
+
n
ϵ
{\displaystyle J_{n}\leq 4\eta _{n}\left(\delta \right)+n\epsilon }
![{\displaystyle L_{2}[-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57c5ee61b5991c5a4264f785da3ba48724859d7)
![{\displaystyle [-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e483c5368694d4985a9181e5288540173d602c4)
![{\displaystyle f(x)\in L_{2}[-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb06ce659a988bacffce327f698b03cdec549c5)
![{\displaystyle f(x)\in L_{1}[-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bcd3c36365587746ba7d4264e415434f9e9569)
![{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{inx}\left(e^{imx}\right)^{*}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)x}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos([n-m]x)+i\sin([n-m]x)dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb56b37ead881afa43a2d0be33e4b45a6c76b339)
![{\displaystyle S_{n}(x)-f(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)f(x+z)dz-f(x)\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)dz=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x+z)-f(x)]D_{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187f15837509b9bfa38b28c7b956f4e05555151e)
![{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x+z)-f(x)]D_{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feca71bb48d4ff54612f7d54f961f3266673ba1d)
![{\displaystyle [x_{0},x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec10faf54bec6a09b997bebef2b4417ec2ebc8b0)
![{\displaystyle A\subset [-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf86f59460b6465db9719389767554f9267b5034)
![{\displaystyle f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d775ea3483605d93b48365b6e0c5864355d30ae1)
![{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz=I_{-}+I_{0}+I_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5901d51fdd9337b0f79aeed8bb3b27ecd08c2d8c)
![{\displaystyle I_{-}=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895772b999ec80f2142f6333bbeff52357ce3bc7)
![{\displaystyle I_{0}=\int \limits _{-\delta }^{\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6767650ca785f03cead3ba783f8a8d6bb86881b3)
![{\displaystyle I_{+}=\int \limits _{\delta }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af30dbc13dd700a2a05ce415d655416ccb3d99af)
![{\displaystyle \left[-\pi ;\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ea7f1ce881955ee05b7c5b8234b96b9bf5cdfa)
![{\displaystyle L_{1}\left[-\pi ;\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8bc1f7902cf9eef893c24053c2626c020f6bed)
![{\displaystyle \alpha \in [0;{\frac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db943df11a53b502d00feba76ddc4dad6580d581)
