Теория функций действительного переменного/Тригонометрические ряды

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Ряд Фурье

Рассмотрим пространство

$L_{2}[-\pi ;\pi ]$

функций с интегрируемым квадратом на отрезке $[-\pi ;\pi ]$ с мерой Лебега и некоторую функцию

$f(x)\in L_{2}[-\pi ;\pi ]$.

В рассматриваемом пространстве функции

$~1,~\cos(nx),~\sin(nx),~n=1,2,...$

образуют ортогональную систему функций, которую называют тригонометрической.

Ряд вида

${a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)$

называют (тригонометрическим) рядом Фурье функции $f(x)$.

Коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

$a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$,

$a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)f(x)dx$,

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)f(x)dx$.

Можно считать, что мы рассматриваем не функции, заданные на отрезке $[-\pi ;\pi ]$, а о периодических функциях, заданных на всей числовой прямой, так как любую функцию можно периодически продолжить. При этом, без ограничения общности, можно считать, что

$f(-\pi )=f(\pi )$,

так как функции, различающиеся значениями в одной точке, являются эквивалентными и не различаются в пространстве $L_{2}[-\pi ;\pi ]$.

Так как функции тригонометрической системы ограничены на всей числовой прямой, то формулы, определяющие коэффициенты ряда Фурье, имеют смысл для любой суммируемой функции. Таким образом, каждой суммируемой функции $f(x)\in L_{1}[-\pi ;\pi ]$ можно поставить в соответствие ряд Фурье

$f(x)\rightarrow {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)$.

Ряд Фурье в комплексной форме

С помощью формул Эйлера тригонометрические функции можно выразить через экспоненциальную следующим образом:

$\cos(nx)={{e^{inx}+e^{-inx}} \over 2}$,

$\sin(nx)={{e^{inx}-e^{-inx}} \over {2i}}=-i{{e^{inx}-e^{-inx}} \over 2}$.

Преобразуем ряд Фурье, используя эти выражения:

$\Phi (x)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(nx)+b_{n}\sin(bx)\right)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}{{e^{inx}+e^{-inx}} \over 2}-ib_{n}{{e^{inx}-e^{-inx}} \over 2}\right)$.

Перегруппируем слагаемые:

$\Phi (x)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({{a_{n}-ib_{n}} \over 2}e^{inx}+{{a_{n}+ib_{n}} \over 2}e^{-inx}\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}$,

где

$c_{0}={a_{0} \over 2}$,

а при $n>0$:

$c_{n}={{a_{n}-ib_{n}} \over 2}$,

$c_{-n}={{a_{n}+ib_{n}} \over 2}$.

Подставляя интегральные выражения для $a_{n}$ и $b_{n}$ получим формулы для вычисления коэффициентов $c_{n}$:

$c_{n}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,~n=0,\pm 1,\pm 2,...$.

Выражение

$\Phi (x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}$

называется (тригонометрическим) рядом Фурье в комплексной форме.

Функции $e^{inx}$ образуют ортогональную систему, так как при $n\neq m$:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{inx}\left(e^{imx}\right)^{*}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)x}dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos([n-m]x)+i\sin([n-m]x)dx=0$.

Экспоненциальные функция оказывается более удобной, чем тригонометрические, так как экспонента удовлетворяет простым дифференциальным

${{de^{ax}} \over dx}=ae^{ax}$

и функциональным уравнениям

$e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$.

Из соображений удобства (упрощение выкладок) будем в дальнейшем использовать ряд Фурье в комплексной форме.

Интеграл Дирихле

Рассмотрим частные суммы ряда Фурье:

$S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}$.

Подставим вместо коэффициентов $c_{k}$ их интегральные выражения (изменим переменную интегрирования):

$c_{k}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt$,

получим

$S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dte^{ikx}$.

Сменим порядок суммирования и интегрирования:

$S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(t-x)}dt$.

Сделаем замену

$z=t-x$,

так как мы условились считать, что функция $f(x)$ периодически продолжена на всю числовую прямую, то пределы интегрирования можно оставить прежними:

$S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}dz$.

Вычислим сумму, стоящую под знаком интеграла, по формуле суммы геометрической прогрессии:

$\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}=e^{inz}{{1-e^{-i(2n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}={{e^{inz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}$.

Умножив числитель и знаменатель последней дроби на

$e^{{iz} \over 2}$,

получим

$\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}={{e^{i(n+{1 \over 2})z}-e^{-i(n+{1 \over 2})z}} \over {e^{{iz} \over 2}-e^{-{{iz} \over 2}}}}={{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}$.

Таким образом

$S_{n}(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z){{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}dz$.

Данное выражение для частных сумм ряда Фурье называется интегралом Дирихле.

Функция вида

$D_{n}(x)={1 \over {2\pi }}{{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}={1 \over {2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}$

называется ядром Дирихле. По определению ядра Дирихле:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)dz=1$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)D_{n}(z)dz=S_{n}(x)$.

Используя это равенство, запишем разность функции и частной суммы соответствующего ряда Фурье в виде

$S_{n}(x)-f(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)f(x+z)dz-f(x)\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(z)dz=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x+z)-f(x)]D_{n}(z)dz$.

Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке

Интеграл Дирихле позволяет свести вопрос о сходимости ряда Фурье к вопросу о равенстве нулю интеграла

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x+z)-f(x)]D_{n}(z)dz$.

Лемма 1. Если функция $\phi (x)$ является суммируемой на отрезке $[x_{0},x_{1}]$, то

$\lim _{p\rightarrow \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}\phi (x)\sin(px)dx=0$.

Теорема 1. Если $f$ — суммируемая функция и при фиксированном $x$ и некотором $\delta >0$ существует интеграл

$\int \limits _{-\delta }^{\delta }\left|{{f(x+t)-f(x)} \over {t}}\right|dt$,

то частичные суммы $S_{n}$ ряда Фурье функции $f$ сходятся в точке $x$ к $f(x)$.

Условие существования интеграла

$\int \limits _{-\delta }^{\delta }\left|{{f(x+t)-f(x)} \over {t}}\right|dt$

для некоторого $\delta >0$ называется условием Дини.

Условия равномерной сходимости ряда Фурье

Рассмотрим теперь условия равномерной сходимости ряда Фурье. Если функция $f(x)$ не является непрерывной (имеет хотя бы один разрыв), то ряд Фурье не может сходится к ней равномерно, так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций является непрерывной. Таким образом, непрерывность функции — это необходимое условие равномерной сходимости её ряда Фурье.

Теорема 2. Если функция $f$ с периодом $2\pi$ абсолютно непрерывна, а её производная $f'$ принадлежит пространству $L_{2}[-\pi ;\pi ]$, то ряд Фурье функции $f$ сходится к ней равномерно на всей числовой прямой.

Теорема 3. Если на некотором множестве $A\subset [-\pi ;\pi ]$ суммируемая функция $f$ ограничена, а условие Дини выполняется на $A$ равномерно, то есть для всякого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что неравенство

$\int \limits _{-\delta }^{\delta }\left|{{f(x+t)-f(x)} \over {t}}\right|dt<\epsilon$

одновременно для всех $x\in A$, то на множестве $A$ ряд Фурье функции $f$ сходится к этой функции равномерно.

Теорема Фейера

Рассмотрим непрерывную на всей числовой прямой функцию $f$ с периодом $2\pi$ и последовательность частных сумм соответствующего ряда Фурье (в комплексной форме):

$S_{k}(x)=\sum _{r=-k}^{k}c_{r}e^{irx}$.

Положим

$\sigma _{n}(x)={1 \over n}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(x)$.

Средние арифметические $\sigma _{n}(x)$ частичных сумм ряда Фурье называются суммами Фейера.

Найдём интегральное представление для сумм Фейера, аналогичное интегралу Дирихле.

Используем интегральное представление частичных сумм:

$S_{k}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)D_{k}(z)dz$.

Подставим эти выражения в определение сумм Фейера:

$\sigma _{n}(x)={1 \over {n}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z)\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)dz$.

При выводе интеграла Дирихле, была получена следующая формула:

$\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}={{e^{inz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}$,

поэтому можно написать:

$2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{{e^{ikz}-e^{-i(k+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}={1 \over {1-e^{-iz}}}\left({}{\sum _{k=0}^{n-1}e^{ikz}-\sum _{k=0}^{n-1}e^{-i(k+1)z}}\right)$.

По формуле суммы геометрической прогрессии:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{ikz}={{1-e^{inz}} \over {1-e^{iz}}}=e^{-i{z \over 2}}{{1-e^{inz}} \over {e^{-i{z \over 2}}-e^{i{z \over 2}}}}=e^{-i{z \over 2}}{{e^{inz}-1} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}$,

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{-i(k+1)z}={{e^{-iz}-e^{-i(n+1)z}} \over {1-e^{-iz}}}=e^{i{z \over 2}}{{e^{-iz}-e^{-i(n+1)z}} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}$.

Так как

${1 \over {1-e^{-iz}}}={e^{i{z \over 2}} \over {e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}}}$,

то

$2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)={{\left(e^{inz}-1\right)-\left(1-e^{-inz}\right)} \over {\left(e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}\right)^{2}}}={{e^{inz}+e^{-inz}-2} \over {\left(e^{i{z \over 2}}-e^{-i{z \over 2}}\right)^{2}}}$.

Воспользуемся формулами, выражающим тригонометрические функции через экспоненциальные:

$\cos(u)={{e^{u}+e^{-u}} \over 2}$,

$\sin(u)=-i{{e^{u}-e^{-u}} \over 2}$,

получим:

$2\pi \sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)=2{{\cos(nz)-1} \over {\left(2i\sin {z \over 2}\right)^{2}}}={{1-\cos(nz)} \over {2\sin ^{2}{z \over 2}}}={{\cos ^{2}{{nz} \over 2}+\sin ^{2}{{nz} \over 2}-\cos ^{2}{{nz} \over 2}+\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {2\sin ^{2}{z \over 2}}}={{\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {\sin ^{2}{z \over 2}}}$.

Полученное равенство позволяет записать следующее интегральное выражение для сумм Фейера:

$\sigma _{n}(x)={1 \over {2\pi n}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+z){{\sin ^{2}{{nz} \over 2}} \over {\sin ^{2}{z \over 2}}}dz$,

это выражение называется интегралом Фейера.

Функция

$\Phi _{n}(z)={1 \over n}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)={1 \over {2\pi n}}\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}$

называется ядром Фейера. Укажем некоторые свойства ядра Фейера.

Во-первых, ядро Фейера, по определению, не меньше нуля:

$\Phi _{n}(x)\geq 0$.

Во-вторых, имеет место равенство

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz=1$,

которое следует из определения ядра Фейера и равенства:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{k}(z)dz=1$.

Данное свойство позволяет записать разность функции и соответствующей суммы Фейера следующим образом

$f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$.

Введём для любого вещественного числа $0<\delta <\pi$ обозначение

$\eta _{n}(\delta )=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz$,

тогда

$\lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0$.

Для доказательства этого факта заметим, что при

$\delta <z<\pi$

выполняется неравенство

$\sin {z}\geq {{\delta } \over {\pi }}$.

Кроме того, $|\sin(nz)|\leq 1$, а следовательно

$\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}\leq \left({{\pi } \over {2\delta }}\right)^{2}$.

Таким образом

$\Phi _{n}(z)={1 \over {2\pi n}}\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}\leq {{1} \over {n}}{{\pi } \over {8\delta ^{2}}}$,

из этой оценки и $\Phi (z)>0$ следует, что

$\lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0$.

Следующая теорема даёт способ восстановление функции по её ряду Фурье.

Теорема Фейера. Если $f$ — непрерывная функция с периодом $2\pi$, то последовательность сумм Фейера этой функции $\{\sigma _{n}\}$ сходится к функции $f$ равномерно на всей числовой оси.

Доказательство.

Так как функция $f$ - непрерывная и периодическая, то она ограничена и равномерно непрерывна на всей числовой прямой, то есть существует такое положительно вещественное число $M$, что для любой точки числовой прямой $x$ выполняется следующее неравенство

$|f(x)|\leq M$

и для каждого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что из неравенства

$|x_{2}-x_{1}|<\delta$

вытекает неравенство

$|f(x_{2})-f(x_{1})|<{\epsilon \over 2}$.

Для доказательства данной теоремы достаточно доказать, что интеграл

$f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$

сходится при $n\rightarrow \infty$ к нулю равномерно на всей числовой прямой.

Данный интеграл можно представить в виде суммы трёх интегралов

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz=I_{-}+I_{0}+I_{+}$,

где

$I_{-}=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$,

$I_{0}=\int \limits _{-\delta }^{\delta }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$,

$I_{+}=\int \limits _{\delta }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$.

Оценим эти интегралы:

$|I_{-}|\leq 2M\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=2M\eta (\delta )$,

$|I_{0}|\leq \int \limits _{-\delta }^{\delta }|f(x)-f(x+z)|\Phi _{n}(z)dz\leq {\epsilon \over 2}\int \limits _{-\delta }^{\delta }\Phi _{n}(z)dz\leq {\epsilon \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz={\epsilon \over 2}$,

$|I_{-}|\leq 2M\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(z)dz=2M\eta (\delta )$.

Так как

$\lim _{n\rightarrow \infty }\eta _{n}(\delta )=0$, то можно указать такое $n_{0}$, что при $n\geq n_{0}$ будет выполняться неравенство

$2M\eta _{n}\left(\delta \right)<{\epsilon \over 4}$,

а следовательно будет справедлива оценка

$|f(x)-\sigma _{n}(x)|\leq {\epsilon \over 4}+{\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 4}=\epsilon$.

Так как это неравенство выполняется для всех $x$, а $\epsilon >0$ можно задать произвольно, то

$\lim _{n\rightarrow \infty }|f(x)-\sigma _{n}(x)|=0$.

Что и требовалось доказать.

Теорема Фейера в пространстве L₁

Теорема Если $f$ — суммируемая на отрезке $\left[-\pi ;\pi \right]$ функция, то её суммы Фейера сходятся к ней по норме пространства $L_{1}\left[-\pi ;\pi \right]$

Доказательство

Выше было доказано, что имеет место равенство

$f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz$,

где $\Phi _{n}$ — ядра Фейера.

Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|dx=0$

Так как

$\Phi _{n}\left(x\right)\geq 0$,

то

$J_{n}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|dx\leq \int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx$.

Интеграл справа можно представить в виде суммы трёх интегралов:

$J_{n}=J_{n}^{-}+J_{n}^{+}+J_{n}^{0}$,

где

$J_{n}^{-}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx$,

$J_{n}^{0}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx$,

$J_{n}^{+}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{\delta }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx$.

В силу теоремы Фубини в этих интегралах можно изменить порядок интегрирования.

Поэтому

$J_{n}^{-}=\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left(\left|f(x)-f(x+z)\right|dx\right)\Phi _{n}(z)dz$.

Рассмотрим внутренний интеграл:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-f(x+z)\right|dx\leq \int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)\right|dx+\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x+z)\right|dx=2\cdot \left\|f\right\|$,

следовательно

$J_{n}^{-}\leq 2\cdot \left\|f\right\|\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(z)dz=2\cdot \left\|f\right\|\cdot \eta _{n}\left(\delta \right)$.

Аналогично можно показать, что имеет место оценка

$J_{n}^{+}\leq 2\cdot \left\|f\right\|\cdot \eta _{n}\left(\delta \right)$.

Теперь рассмотрим интеграл $J_{n}^{0}$. Оценим $\left|\Phi _{n}(z)\right|$, так как $\left|\sin(n\alpha )\right|<n\left|\sin \alpha \right|$ при $\alpha \in [0;{\frac {\pi }{2}}]$, то

$\left|\Phi _{n}(z)\right|={\frac {1}{2\pi n}}\left|{\frac {\sin {\frac {nz}{2}}}{\sin {\frac {z}{2}}}}\right|^{2}\leq {\frac {1}{2\pi n}}n^{2}={\frac {n}{2\pi }}$.

Поэтому для интеграла $J_{n}^{0}$ можно указать следующую оценку

$J_{n}^{0}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|\Phi _{n}(z)dzdx\leq {\frac {n}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|dzdx$.

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, для любого $\epsilon >0$ можно так выбрать $\delta$, что

$\int \limits _{-\delta }^{+\delta }\left|f(x)-f(x+z)\right|dz<\epsilon$,

следовательно

$J_{n}^{0}\leq {\frac {n\epsilon }{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }dx=n\epsilon$.

Таким образом

$J_{n}\leq 4\eta _{n}\left(\delta \right)+n\epsilon$.