Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Монотонные функции

Функция $f$, заданная на некотором отрезке числовой прямой называется монотонной, если из

$x_{1}\leq x_{2}$

следует

$f(x_{1})\leq f(x_{2})$.

Рассмотрим один важный класс монотонных функций — функции скачков. Пусть на отрезке $[a;b]$ задано конечное или счётное число точек

$~x_{1},x_{2},...,x_{n},...$,

причём

$a\leq x_{n}<b$.

и для каждой из них определено положительное число $h_{n}$, причём сумма

$\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}$

ограничена. Определим функцию $f$ на отрезке $[a;b]$ следующим образом:

$f(x)=\sum _{x_{n}<x}h_{n}$.

Очевидно, что построенная функция является монотонной неубывающей и непрерывной слева. Можно образом построить аналогичную невозрастающую функцию, для этого достаточно потребовать, чтобы все $h_{n}$ были отрицательными.

Множество точке разрыва построенной таким образом функции совпадает с множеством $\{x_{n}\}$, причём скачок в точке $x_{n}$ равен $h_{n}$.

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций.

Свойство 1. Всякая монотонная на отрезке $[a;b]$ функция $f$ измерима, ограничена и, как следствие, суммируема.

Доказательство. Рассмотрим монотонно неубывающие функции. Ограниченность следует из определения монотонной функции, действительно, на отрезке $[a;b]$ имеют место неравенства

$f(a)\leq f(x)\leq f(b)$.

Для любого постоянного вещественного числа $c$ множество

$X_{c}=\{x\mid f(x)<c\}$

есть либо отрезок, либо полуинтервал, либо пустое множество, отсюда и следует измеримость функции.

Для монотонно невозрастающих функции доказывается аналогично.

Свойство 2. Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.

Доказательство. Пусть $c$ — некоторая точка отрезка $[a;b]$. Рассмотрим возрастающую последовательность

$\{x_{n}\}$

такую, что

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=c$,

причём

$x_{n}<c$.

Построим последовательность значений функции

$\{f(x_{n})\}$,

данная последовательность является монотонной и ограниченной, а следовательно имеет предел, таким образом функция $f(x)$ имеет предел слева в каждой точке. Аналогично можно доказать существование правого предела монотонной функции в любой точке.

Свойство 3. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Доказательство. Сумма любого конечно числа скачков монотонной на отрезке $[a;b]$ функции $f$ не превосходит $f(b)-f(a)$, следовательно, для каждого натурального числа $n$ число скачков, величина которых больше, чем $1/n$ ограничено величиной

${f(b)-f(a)} \over n$.

Произведя суммирование по всем натуральным числам, получаем, что количество скачков конечно или счётно.

Свойство 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить в виде суммы непрерывной монотонной функции и непрерывной слева функции скачков, причём это представление — единственно.

Функции с ограниченным изменением

Функция $f$, заданная на отрезке $[a;b]$ называется функцией с ограниченным изменением, если существует такое вещественное число $M$, что для любого разбиения отрезка $[a;b]$ точками

$a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$

выполняется неравенство

$\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq M$.

Всякая монотонная функция является функцией с ограниченным изменением, так как для неё величина суммы не зависит от разбиения отрезка и равна $|f(b)-f(a)|$.

Пусть $f$ — функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм

$\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$

по всевозможным конечным разбиениям отрезка $[a;b]$ называется полным изменением (или полной вариацией) функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначается $V_{a}^{b}[f]$, таким образом

$V_{a}^{b}[f]=\sup \sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$

Функция, заданная на всей числовой прямой называется функцией с ограниченным изменением, если для всевозможных отрезков $[a;b]$ величины $V_{a}^{b}[f]$ ограничены в совокупности. Величина

$\lim _{\begin{smallmatrix}{a\rightarrow -\infty }\\{b\rightarrow +\infty }\end{smallmatrix}}V_{a}^{b}[f]$

называется полным изменением функции на числовой прямой и обозначатся

$V_{-\infty }^{+\infty }[f]$.

Свойство 1. Если $\alpha$ — вещественное число, тогда

$V_{a}^{b}[\alpha f]=|\alpha |V_{a}^{b}[f]$.

Свойство 2. Если $f$ и $g$ — функции с ограниченным изменением, то функция $f+g$ также является функцией с ограниченным изменением, причём

$V_{a}^{b}[f+g]\leq V_{a}^{b}[f]+V_{a}^{b}[g]$.

Из свойств 1 и 2 следует, что функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство.

Свойство 3. Если $a<b<c$, то

$V_{a}^{c}[f]=V_{a}^{b}[f]+V_{b}^{c}[f]$.

Свойство 4. Если рассматривать полное изменение как функцию верхнего предела

$v(x)=V_{a}^{x}[f]$,

то эта функция будет монотонно неубывающей.

Свойство 5. Если функция $f$ — непрерывна в точке $x^{*}$ слева, то и функкция

$v(x)=V_{a}^{x}[f]$

будет непрерывна в этой точке слева.

Теорема. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Полное изменение функции $V_{a}^{b}[f]$ обладает обладает свойствами 1, 3 и 4 нормы, но не свойством 2 (для всех постоянных функций полное изменение равно нулю). Рассмотрим функции с ограниченным изменением, удовлетворяющие условию

$f(a)=0$,

эти функции образуют линейное пространство, в котором полное изменение обладает всеми свойствами нормы. Это пространство обозначают $V^{0}[a;b]$.

Можно доказать, что функционал

$|f(a)|+V_{a}^{b}[f]$

обладает всем свойствами нормы в пространстве всех функций с ограниченным измерением, а само это пространство является полным.

Производная

Теорема 1 (Лебег). Монотонная функция $f$, определённая на отрезке $[a;b]$, имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.