Теория функций действительного переменного/Счётные множества

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Определение 1. Если множество A эквивалентно множеству $\mathbb {N}$ (множеству натуральных чисел) (если $A\sim \mathbb {N}$), то множество A называется счётным множеством. Иначе говоря, для счётного множества A существует биекция $f:\mathbb {N} \to A$. Существование биекции означает, что элементы множества А можно записать в виде последовательности
a₁, a₂, …, a_n, …,
в которой нет равных членов, и каждый элемент множества A равен одному из членов последовательности.

Пример. Множество $\mathbb {Z}$ (множество целых чисел) счётно, так как его элементы можно записать в виде следующей последовательности:
0, -1,+1, -2,+2, …, -n,+n, …
Счётны также множества $\left\{{\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},...,{\frac {1}{n}},...\right\}$, { 2¹ , 2² , 2³ , … , 2ⁿ , … }, { 1³ , 2³ , … , n³ , … }.

Теорема 1. Множество $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ (декартово произведение множества натуральных чисел и множества натуральных чисел, множество пар натуральных чисел) счётно, то есть $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \sim \mathbb {N}$.

Доказательство

Доказательство проиллюстрируем следующим рисунком. На рисунке в отличие от русской математической символики символ «/» обозначает не дробь, а стоит вместо запятой, обозначая упорядоченную пару — элемент множества $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$.

В результате расстановки, указанной стрелками, все элементы множества $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ приобретут номер. Так как элементы множества $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ можно занумеровать, множество $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ счётно.

Теорема 2. Декартово произведение конечного числа счётных множеств есть множество счётное.

Доказательство проведём методом математической индукции.

1. Пусть множества A₁ и A₂ счётные, то есть $A_{1}\sim \mathbb {N}$ и $A_{2}\sim \mathbb {N}$. Тогда по теореме 2 из главы "Эквивалентные множества" $A_{1}\times A_{2}\sim \mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Так как по теореме 1 $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \sim \mathbb {N}$, то $A_{1}\times A_{2}\sim \mathbb {N}$. Теорема верна для двух сомножителей.

2. Предположим, что теорема верна для n сомножителей. Докажем справедливость теоремы для (n+1) сомножителя. Пусть множества A₁, A₂, …, A_n+1 счётны. Сопоставляя элементу $((a_{1},a_{2},...,a_{n}),a_{n+1})$ множества $\left(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\right)\times A_{n+1}$ элемент $(a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1})$ множества $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\times A_{n+1}$, получим биекцию множества $(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n})\times A_{n+1}$ на множество $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\times A_{n+1}$. Следовательно, $(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n})\times A_{n+1}$ $\sim$ $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\times A_{n+1}$. Но по предположению индукции $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\sim \mathbb {N}$. Поэтому, применяя уже доказанный частный случай теоремы для декартова произведения двух сомножителей ($A_{1}\times A_{2}\sim \mathbb {N}$), получим $(A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n})\times A_{n+1}\sim \mathbb {N}$. Следовательно, и $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\times A_{n+1}\sim \mathbb {N}$.

Пример. Множество $\mathbb {Z} ^{2}$ (множество точек плоскости с целыми координатами) счётно. Множество $\mathbb {Z} ^{2}$ есть $\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

Теорема 3. Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Доказательство

Пусть B — бесконечное множество. Тогда множество B содержит хотя бы один элемент a₁. В силу бесконечности B в нём найдется элемент a₂, отличный от a₁. Так как злементы a₂ и a₁ не исчерпывают всего множества B, то в B найдется элемент a₃, отличный и от a₂ и от a₁. Если уже выделено n элементов (a₁, a₂, …, a_n), то в силу бесконечности B в B найдётся ещё один элемент, который обозначим a_n+1 и который отличен от всех ранее выбранных элементов. Таким образом, для каждого натурального числа n можно выделить элемент a_n из B. Причём все выделенные элементы попарно различны. Выделенные элементы образуют последовательность
a₁, a₂, …, a_n, …
Множество членов последовательности по определению счётно. Множество членов последовательности есть часть множества B.

Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Доказательство

Пусть A — счётное множество, B — бесконечное подмножество множества A. По теореме 3 множество B содержит счётное подмножество C. Так как множества A и C счётны, $A\sim C$. Кроме того, $C\subset B\subset A$. По теореме 4 главы 1 $B\sim A$, то есть множество B эквивалентно счётному множеству и потому само счётно.

Теорему 4 можно перефразировать следующим образом. 4'. Всякое подмножество счётного множества конечно или счётно.

Теорема 5. При любом отображении образ счётного множества конечен или счётен.

Доказательство

Пусть A — счётное множество, B — произвольно множество и f — некоторое отображение:
f: A→B.

Требуется доказать, что множество $C=f(A)$ конечно или счётно.

Выберем для любого элемента $c\in C$ в его полном прообразе f^-1 произвольным образом точку a_c. В результате образуется множество $A_{1}=\{a_{c}\}_{c\in C}$. Множество $A_{1}$ является частью счётного множества A, и потому, согласно теореме 4', конечное или счётное. Так как для различных элементов c и c' множества C их полные прообразы f^-1(c) и f^-1(c') не пересекаются, то $a_{c}\neq a_{c'}$, и, следовательно, соответствие $c\mapsto a_{c}$ является биекцией множества C на множество A₁. Поэтому вместе с множеством A₁ и множество C конечно или счётно.

Теорема 6. Множество $\mathbb {Q}$ (множество рациональных чисел) счётно.

Доказательство

Так как множество $\mathbb {Z}$ счётно, то по теореме 2 и декартово произведение $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ счётно. Поставим в соответствие произвольному элементу (p,q) множества $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ рациональное число ${\frac {p}{q}}$. Получившееся отображение $f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ сюръективно. Действительно, всякое рациональное число r можно представить в виде отношения двух целых чисел: $r={\frac {p}{q}}$, причём знаменатель можно считать положительным; тогда пара (p,q) является, очевидно, прообразом точки r относительно отображения f. Таким образом, множество $\mathbb {Q}$ счётно как образ счётного множеста при некотором отображении, учитывая при этом, что конечным оно заведомо не является.

Пример. Пусть A - множество рациональных точек интервала (a,b). Требуется доказать, что множество A счётно. Множество A бесконечно и является частью счётного множества $\mathbb {Q}$, поэтому по теоремам 6 и 4 является счётным.

Теорема 7. Всякое семейство $\{\Delta _{x}\}_{x\in X}$ попарно не пресекающихся непустых интервалов конечно или счётно.

Доказательство

Всякий интервал содержит бесконечно много рациональных точек. Выберем из каждого интервала $\Delta _{x}$ одну рациональную точку r_x. Получившееся множество $A=\{r_{x}\}_{x\in X}$ как часть счётного множества $\mathbb {Q}$ конечно или счётно. Исходное множество интервалов (множество $\{\Delta _{x}\}_{x\in X}$), так как эквивалентно множеству A, тоже конечно или счётно.

Теорема 8. Объединение конечной или счётной совокупности конечных или счётных множеств конечно или счётно.

Доказательство

Если $A=\bigcup _{n=1}^{k}A_{n}$, где все слагаемые являются множествами конечными или счётными, то, полагая для любого натурального числа m>k A_m = A_k, получим $A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$, то есть случай конечного объединения сводится к случаю счётного объединения, каковой мы и будем дальше предполагать выполненным.

Занумеруем элементы множества A_n в последовательность

a_n1, a_n2, …, a_nm, …, (*)

Причём, если A_n конечно и содержит k_n элементов, то будем считать, что первые k_n членов этой последовательности попарно различны и исчерпывают всё множество A_n, а для m>k_n, полагаем a_nm = a_nkn.

Зададим теперь отображение $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A$ формулой f(n,m) = a_nm. Тогда отображение f сюръективно. Действительно, если $a$ — любой элемент множества А, то $a$ принадлежит некоторому слагаемому A_n и потому совпадает с каким-ни6удь членом проследовательиости (*): a = a_nm. В таком случае пара натуральных чисел (n,m) будет проо6разом элемента $a$ относительно отображения $f$. Итак, А есть образ счётного множества $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ при отображении f. Поэтому А конечно или счётно.

Примеры представления в форме последовательности некоторых объединений:

• $\{2,3,4\}\cup \left\{{1 \over 1},{1 \over 2},...,{1 \over n},...\right\}$ = $\left\{2,3,4,{1 \over 1},{1 \over 2},...,{1 \over n},...\right\}$;
• $\{1,2,...,n,...\}\cup \left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},...,{\frac {n}{n+1}},...\right\}$ = $\left\{1,{\frac {1}{2}},2,{\frac {2}{3}},...,n,{\frac {n}{n+1}},...\right\}$;
• $\{2^{1},2^{2},...,2^{n},...\}\cup \{3^{1},3^{2},...,3^{n},...\}\cup \{5^{1},5^{2},...,5^{n},...\}$ = $\{2^{1},3^{1},5^{1},2^{2},3^{2},5^{2},...,2^{n},3^{n},5^{n},...\}$.

Определение 2. Действительное число $x$ называется алгебраическим, если является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Пример. Всякое рациональное число $r={\frac {p}{q}}$ является алгебраическим, так как является корнем многочлена $q\cdot x-p$.

Теорема 9. Множество алгебраических чисел счётно.

Доказательство

Сопоставляя многочлену $a_{0}+a_{1}\cdot x+...+a_{n}\cdot x^{n}$ с целыми коэффициентами элемент (a₀, a₁, …, a_n) декартова произведения $\mathbb {Z} ^{n+1}$, получим биекцию между множеством всех многочленов A_n степени не выше n и декартовым произведением $\mathbb {Z} ^{n+1}$. Отсюда в силу счётности множества $\mathbb {Z} ^{n+1}$ следует счётность множества A_n. Так как множество всех многочленов с целыми коэффициентами представляется в виде $A=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$, то по теореме 8 множество A счётно. Учитывая, что многочлен степени n имеет не более n корней, получаем, что множество алгебраических чисел представляется в виде счётного объединения конечных множеств и, следовательно, по теореме 8 конечно или счётно. Причём конечность невозможна, так как уже множество рациональных чисел, являющееся подмножеством множества алгебраических чисел, бесконечно.

Теорема 10. Если множество B бесконечно, а множество А конечно или счётно, то $A\cup B\sim B$.

Доказательство

Согласно теореме 3 множество B содержит счётное подмножество С. Множество $A\setminus B$ как часть конечного или счётного множества A само конечно или счётно. Поэтому по теореме 8 множество $C\cup (A\setminus B)$ счётно. Нетрудно проверить (и это предлагается проделать самостоятельно) справедливость следующих равенств:

1. $A\cup B=\left(B\setminus C\right)\cup \left(C\cup \left(A\setminus B\right)\right)$;
2. $B=(B\setminus C)\cup C$;
3. $\left(B\setminus C\right)\cap C=\varnothing$;
4. $\left(B\setminus C\right)\cap \left(C\cup \left(A\setminus B\right)\right)=\varnothing$.

Так как множества C и $C\cup \left(A\setminus B\right)$ счётны, то $C\sim \left(C\cup \left(A\setminus B\right)\right)$. Так как $\left(B\setminus C\right)\sim \left(B\setminus C\right)$, и $C\sim \left(C\cup \left(A\setminus B\right)\right)$, то по теореме 3 главы 1 $\left(A\cup B\right)\sim B$.

Следствие. Если a < b , то (a,b)~(a,b]~[a,b]. Пример биекции f между [0,1] и [0,1) даёт следующая формула $f(n)={\begin{cases}x,&{\mbox{npu }}x\neq {\frac {1}{n}},\;\;n\in \mathbb {N} \\{\frac {1}{n+1}}&{\mbox{npu }}x={\frac {1}{n}}\end{cases}}$.

Замечание. Из теоремы 10 следует, что всякое бесконечное множество содержит эквивалентное ему собственное подмножество. Конечное множество таким свойством не обладает. Поэтому свойство множества иметь эквивалентную ему правильную часть можно принять за определение бесконечного множества.

Упражнения

1. Докажите, что множество точек плоскости с рациональными координатами счётно.
2. Докажите, что множество интервалов с рациональными концами счётно.
3. Пусть A — множество таких вещественных чисел, расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите, что множество A конечно или счётно.
4. Докажите, что множество точек разрыва монотонной функции, определённой на всей числовой прямой, конечно или счётно.
5. Докажите, что всякое множество попарно не пересекающихся кругов на плоскости конечно или счётно.
6. Пусть A — множество таких точек плоскости, расстояние между любыми двумя из которых больше фиксированного положительного числа a. Докажите, что множество A конечно или счётно.
7. Покажите, что множество конечных подмножеств множества $\mathbb {N}$ (натурального ряда) счётно.
8. Докажите, что множество таких треугольников на плоскости, координаты вершин которых рациональны, счётно.
9. Докажите, что множество таких многоугольников на плоскости, координаты вершин которых рациональны, счётно.
10. Будет ли счётным множество таких многочленов, коэффициентами которых служат алгебраические числа?
11. Установите биекцию между [0,1] и (0,1).
12. Установите биекцию между (0,2) и $(0.1)\cup (1,2)$.
13. Установите биекцию между внутренностью единичного круга на плоскости и его внешностью.
14. Установите биекцию между внешностью единичного круга и плоскостью.