Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве
- Эквивалентные множества
- Счётные множества
- Метрическое пространство
- Множества в метрическом пространстве
- Сходимость метрического пространства
- Непрерывные отображения метрического пространства
- Полные метрические пространства
- Принцип сжимающихся отображений
- Применение принципа сжимающихся отображений
- Линейные пространства
- Линейные функционалы
- Выпуклые множества и функционалы
- Нормированные и евклидовы пространства
- Непрерывные линейные функционалы
- Сопряжённое пространство
- Слабая сходимость
- Обобщённые функции
- Линейные операторы
- Компактные операторы
- Системы множеств
- Мера множеств, измеримые функции
- Интеграл Лебега
- Теория дифференцирования
- Пространства суммируемых функций
- Тригонометрические ряды
- Ортогональные системы функций
- Преобразование Фурье
В формулировках многих теорем анализа встречается понятие «окрестность точки». Наличие метрики позволяет ввести понятие окрестности в произвольном пространстве. Кроме того, в метрическом пространстве можно выделить подмножества, аналогичные шару в элементарной геометрии.
Типы множеств в метрическом пространстве
правитьПусть — метрическое пространство, произвольная точка этого пространства, а — положительное вещественное число. Дадим некоторые определения.
Множество
- ,
то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки не более чем на заданную величину , называется замкнутым шаром радиуса с центром в точке .
Множество
- ,
то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки менее чем на заданную величину , называется открытым шаром радиуса с центром в .
Открытый шар радиуса с центром в точке x называется ε-окрестностью этой точки и обозначается
- .
Множество называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий внутри себя множество , в противном случае множество называется неограниченным.
Диаметром непустого множества называется величина
- .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Множество является ограниченным тогда и только тогда, когда его диаметр конечен.
Доказательство.
Пусть множество является ограниченным, а содержащий его шар — . Оценим расстояние между двумя произвольными точками этого множества. В силу аксиомы треугольника для метрики:
- ,
а следовательно
- ,
то есть диаметр ограниченного множества конечен. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность. Пусть диаметр множества конечен. Выберем произвольную точку , тогда для любой другой точки будет иметь место неравенство
- ,
таким образом, множество содержится в шаре
- ,
то есть является ограниченным. Теорема доказана.
Множество называется открытым, если любая точка этого множества принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью (то есть с открытым шаром c центром в этой точке).
Множество называется замкнутым , если его дополнение есть открытое множество.
Точка называется точкой прикосновения множеcтва , если любая её окрестность имеет непустое пересечение с этим множеством.
Замыканием множества называется совокупность всех точек прикосновения этого множества (обозначается , иногда в литературе используется также обозначение ). Мы будем использовать обозначение , так как черта над символом уже имеет несколько значений(например: комплексно-сопряжённое число, дополнение множества).
Преобразование, ставящее в соответствие множеству его замыкание, называется операцией замыкания. Рассмотрим некоторые свойства операции замыкания.
Свойство 1. Множество целиком содержится в своём замыкании:
- .
Данное свойство следует из того факта, что любая точка множества является его точкой прикосновения.
Свойство 2. Повторное применение операции замыкания не меняет результат:
- .
Доказательство. Пусть . Тогда в любой её окрестности — шаре — найдётся точка . Рассмотрим шар радиуса . Этот шар лежит внутри шара . Действительно, пусть
- ,
а по аксиоме треугольника
- .
Так как , то в шаре найдётся точка , но тогда
- ,
а так как — произвольная окрестность, содержащая , то . Свойство доказано.
Свойство 3. Замыкание подмножества есть подмножество замыкания содержащего его множества:
- .
Доказательство.
Если , то в любой окрестности существует такая точка , что , но так как , то , а следовательно , то есть
- ,
а это как раз и обозначает, что . Свойство доказано.
Свойство 4. Замыкание объединения множеств совпадает с объединением их замыканий:
- .
Доказательство. По определению объединения множеств
- ,
следовательно, по свойству 3:
- ,
а значит
- .
Докажем теперь обратное включение.
Пусть , рассмотрим некоторую окрестность , по определению замыкания, существует такая точка , что , а значит точка принадлежит по крайней мере одному из множеств или .
Теорема 2(Критерий замкнутости множества). Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.
Доказательство.
Пусть множество является замкнутым, тогда его дополнение
будет открытым множеством. А значит для любой точки и любого вещественного числа :
- ,
то есть для любой точки
- ,
а так как по свойству 1 , то замыкание замкнутого множество есть само это множество.
Пусть теперь , это означает, что любая окрестность любой точки множества не имеет общих точек с , то есть целиком лежит в , таким образом, множество является, по определению, открытым, а — замкнутым.
Замечание. Иногда эту теорему берут за определение замкнутого множества, а тот факт, что замкнутое множество является дополнением открытого доказывают как теорему.
Из данной теоремы и свойств операции замыкания следует, что замыкание множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее данное.
Теорема 3. Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Доказательство.
Рассмотрим счётную систему множеств
и их пересечение
- .
Пусть — произвольная предельная точка множества , тогда любая её окрестность содержит бесконечно много точек из , а по свойству пересечения множеств, любая точка принадлежит всем , а так как каждое из этих множеств замкнуто, то им всем принадлежит и сама точка . Таким образом
- ,
а значит множество является замкнутым.
Рассмотрим теперь множество , представляющее собой объединение конечного числа замкнутых множеств: . Рассмотрим произвольную точку и покажем, что она не может быть предельной точкой множества . По определению объединения множеств, точка не принадлежит ни одному из замкнутых множеств , а значит не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого из множеств можно указать такое вещественное число , что окрестность будет содержать лишь конечное число точек из . Выбрав из этих окрестностей наименьшую, получим окрестность точки содержащую не более чем конечное число точек из . А значит точка , по определению, не может быть предельной для .
В силу принципа двойственности справедлива следующая теорема.
Теорема 3а. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.
Отметим, что существуют множества не открытые и не замкнутые. Существуют и множества, являющиеся и открытыми, и замкнутыми: пустое множество и всё пространство.
Точка метрического пространства называется предельной точкой множества , если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из . Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать . Например, если — множество рациональных точек отрезка , то каждая точка этого отрезка является предельной точкой множества .
Точка называется изолированной точкой множества , если в достаточно малой её окрестности нет точек из , отличных от .
Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность , лежащая целиком в .
Теорема 4. Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества.
Доказательство.
Пусть — произвольная точка прикосновения множества , а значит любая её окрестность должна пересекаться с множеством . Если эта точка не является предельной, то можно указать окрестность в которой содержится лишь конечное число точек из . Обозначим эти точки . Если положить
- ,
то шар не будет содержать ни одну из точек . Таким образом, мы указали окрестность точки , которая не содержит других точек множества , то есть если точка не является предельной, то она изолированная.
Наоборот, если предельная точка не является изолированной, то в любой её окрестности содержится бесконечно много точек множества . Действительно, если бы точек было лишь конечное число, мы могли бы указать окрестность (как это было сделано выше), которая не содержит точек из кроме самой .
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что замыкание множества M состоит, в общем случае, из точек трёх типов:
- Изолированные точки множества M;
- Предельные точки множества M, принадлежащие M;
- Предельные точки множества M, не принадлежащие M.
Таким образом, замыкание множества получается присоединением к нему всех его предельных точек.
Плотные подмножества
правитьПусть и — два множества в метрическом пространстве . Множество называется плотным в множестве , если его замыкание включает множество , то есть
- .
Если замыкание множества совпадает со всем пространством , то говорят, что множество А — всюду плотное (в пространстве R).
Множество называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре.
Если в метрическом пространстве имеется счётное всюду плотное множество, то такое пространство называется сепарабельным.
Например, рациональные числа образуют счётное всюду плотное множество на числовой прямой, так как всякой вещественное число — это предел последовательности рациональных чисел.
Пространство изолированных точек является сепарабельным только если оно само счётно, так как в дискретной метрике замыкание любого множества совпадает с ним самим.
Структура открытых и замкнутых множеств на прямой
правитьУпражнения
правитьУпражнение 1. Доказать, что все точки открытого множества являются внутренними.