Теория функций действительного переменного/Пространства суммируемых функций
- Эквивалентные множества
- Счётные множества
- Метрическое пространство
- Множества в метрическом пространстве
- Сходимость метрического пространства
- Непрерывные отображения метрического пространства
- Полные метрические пространства
- Принцип сжимающихся отображений
- Применение принципа сжимающихся отображений
- Линейные пространства
- Линейные функционалы
- Выпуклые множества и функционалы
- Нормированные и евклидовы пространства
- Непрерывные линейные функционалы
- Сопряжённое пространство
- Слабая сходимость
- Обобщённые функции
- Линейные операторы
- Компактные операторы
- Системы множеств
- Мера множеств, измеримые функции
- Интеграл Лебега
- Теория дифференцирования
- Пространства суммируемых функций
- Тригонометрические ряды
- Ортогональные системы функций
- Преобразование Фурье
Пространство суммируемых функций
правитьПусть — некоторое пространство с полной мерой . Рассмотрим совокупность всех функций, суммируемых на множестве . Так как сумма двух суммируемых функций и произведение суммируемой функции на число есть суммируемая функция, то эта совокупность является линейным пространством, которое обозначают или просто , когда из контекста понятно о какое пространство и какая мера имеются в виду.
В пространстве можно ввести следующую норму
- .
Однородность нормы, справедливость аксиомы треугольника и положительность нормы следуют из свойств интеграла Лебега:
- ,
- .
По определению нормы, норма равна нулю только для нулевого элемента, однако интеграл Лебега равен нулю, если функция равна нулю почти всюду (иными словами: если функция отличается от нуля лишь на множестве меры нуль, то её интеграл Лебега равен нулю). Таким образом, для того, чтобы ввести норму в линейном пространстве , нужно принять, что нулевой элемент — это совокупность всех функций, отличающихся от нуля лишь на множестве меры нуль. Это, в свою очередь, приводит к тому, что все эквивалентные друг другу функции нужно считать одним и тем же элементом нормированного пространства.
Так как в качестве элементов рассматриваются классы функций, то необходимо заново определить операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.
Пусть даны два класса и эквивалентных друг другу функций. Выберем в каждом классе по одному произвольному элементу-представителю: и , соответственно. Суммой классов и назовём класс функций, эквивалентных функции . Произведением класса на число назовём класс функций, эквивалентных функции .
Можно доказать, что определения суммы двух классов и умножения класса на число не зависят от выбора элементов-представителей. Действительно, пусть и два других представителя классов и соответственно. Тогда
- ,
справа стоит сумма двух функций, равных нулю почти всюду (разность функций, принадлежащих одному классу), а значит функции и отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль, а значит они принадлежат одному классу. Аналогично можно доказать и независимость определения произведения класса на число от выбора элемента-представителя.
Эти соображения приводят к следующему определению пространства суммируемых функций.
Пространство — это нормированное пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой суммируемых функций. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число. А норма в пространстве задаётся формулой
- .
В пространстве (как и в любом другом нормированном пространстве) можно ввести метрику
- .
Сходимость последовательности суммируемых функций в этой метрике называется сходимостью в среднем.
Теорема 1. Пространство является полным.
Пространство функций с суммируемым квадратом
правитьПространство является полным нормированным линейным пространством, но не является евклидовым пространством (этот факт можно доказать с использованием характеристического свойства евклидова пространства).
Пространство функций, не только нормированное, но и евклидово, можно построить, если рассмотреть совокупность функций, квадрат которых является суммируемой функцией. При этом, как и в случае пространства , эквивалентные друг другу функции не должны различаться.
Функция называется функцией с интегрируемым квадратом на множестве , если интеграл
существует и конечен.
Пространство или кратко — это пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число.
Установим некоторые свойства функций с интегрируемым квадратом.
Свойство 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.
Пусть и - функции с интегрируемым квадратом. Рассмотрим неотрицательное выражение . Раскроем скобки:
- ,
следовательно
- .
Аналогично, из неравенства можно вывести, что
- .
Объединим два полученных неравенства:
- .
Следовательно, по свойству интеграла Лебега, функция является интегрируемой.
Свойство 1a. Всякая функция с интегрируемым квадратом является интегрируемой на множестве конечной меры.
Для доказательства нужно применить Свойство 1, положив в нём .
Свойство 2. Если и - произвольное число, то . Иными словами, произведение функции с интегрируемым квадратом на число есть снова функции с интегрируемым квадратом. Действительно, если интеграл
существует и конечен, то
- .
Свойство 3. Если и , то . Иными словами, сумма двух функций с интегрируемым квадратом есть функция с интегрируемым квадратом.
- .
Справа стоит сумма трёх интегрируемых функции (Свойство 1), а значит функция слева также является интегрируемой, то есть квадрат функции есть суммируемая функция, а значит - функция с суммируемым квадратом.
Из свойств 2 и 3 следует, что пространство является линейным пространством.
Определим в пространстве скалярное произведение по формуле
- .
Легко проверить, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются.
В пространстве , как и во всяком евклидовом пространстве, имеет место неравенство Коши-Буняковского:
- .
Если мера всего множества конечна, то, положив , получим следующее важное неравенство:
- .
Как и в любом другом евклидовом пространстве, в можно задать норму
и метрику
- .
Данная метрика часто называется средним квадратичным уклонением. Сходимость в метрике пространства называют сходимостью в среднем квадратичном.
Теорема 1. Если , то пространство полно.