Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Пусть $f_{1}$ и $f_{2}$ — линейные функционалы на некотором линейном пространстве $E$. Суммой $f_{1}+f_{2}$ будем называть функционал $f$, определённый следующим образом:

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x),\forall x\in E.$

Произведение функционала $f_{1}$ на число $\alpha$ обозначается $\alpha f_{1}$ и определяется как

$f(x)=\alpha f_{1}(x),\forall x\in E.$

Пространство всех линейных функционалов, определённых на некотором топологическом линейном пространстве $E$, называется сопряжённым с пространством $E$ и обозначается $E^{*}$.

Для линейных непрерывных функционалов может быть введена норма:

$\left\|f\right\|=\sup _{\left\|x\right\|\neq 0}{\frac {\left|f(x)\right|}{\left\|x\right\|}}=\sup _{\left\|x\right\|=1}\left|f(x)\right|$.

Проверим выполнение аксиом нормы:

1. Неотрицательность следует непосредственно из определения.
3. Абсолютная однородность. $\left\|\alpha f\right\|=\sup _{\left\|x\right\|=1}\left|\alpha f(x)\right|=\alpha \cdot \sup _{\left\|x\right\|=1}\left|f(x)\right|=\alpha \left\|f\right\|$.
4. Аксиома треугольника.

Таким образом, в пространстве $E^{*}$, сопряженное нормированному пространству, можно ввести естественную нормой.

Топология $E^{*}$, соответствующая данной норме называется Сильной топологией.

Теорема 1. Сопряжённое пространство является полным.