Теория функций действительного переменного/Выпуклые множества и функционалы

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Выпуклые множества и выпуклые тела

Пусть $L$ — некоторое действительное линейное пространство, а $x$ и $y$ — две точки этого пространства.

Совокупность всех точек вида

$~ax+(1-a)y,~0\leq a\leq 1$,

называется замкнутым отрезком в линейном пространстве $L$, соединяющим точки $x$ и $y$.

Отрезок без концевых точек, то есть совокупность точек вида

$~ax+(1-a)y,~0<a<1$

называется открытым отрезком в линейном пространстве $L$.

Множество $M\subset L$ называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества $x,y\in M$ и произвольного вещественного числа $0\leq a\leq 1$ точка

$~ax+(1-a)y$

также принадлежит множеству $M$. Другими словами, выпуклое множество содержит отрезок, соединяющий две любые точки этого множества.

Ядром $~J(M)$ произвольного множества $M\subset L$ называется совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y\in L$ найдётся такое число $~\epsilon =\epsilon (y)>0$, что

$|t|<\epsilon \Rightarrow x+ty\in M$.

Выпуклое тело — это выпуклое множество с непустым ядром.

Если $M$ — выпуклое множество, то его ядро $J(M)$ тоже является выпуклым. Действительно, пусть

$x,y\in J(M)\subset M$,

$0\leq a\leq 1$,

$z=ax+(1-a)y\in M$,

тогда, по определению ядра множества, для данного вектора $w\in L$ найдутся такие вещественные числа $\epsilon _{1}>0$ и $\epsilon _{2}>0$, что при

$|t_{1}|<\epsilon _{1},~|t_{2}|<\epsilon _{2}$

точки

$~x+t_{1}w$,

$~y+t_{2}w$.

будут принадлежать множеству $M$. Следовательно, при

$~|t|<\epsilon =\min(\epsilon _{1},\epsilon _{2})$,

точка

$a(x+tw)+(1-a)(y+tw)=\left(ax+(1-a)y\right)+(a+1-a)tw=z+tw$

тоже будет принадлежать множеству $M$, то есть точка $z$ принадлежит ядру $J(E)$. Таким образом, мы установили, что ядро множества вместе с концами отрезка содержит и отрезок целиком, а следовательно, ядро выпуклого множества является выпуклым множеством.

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство.

Рассмотрим набор выпуклых множеств $\{M_{n}\}$ и их пересечение:

$M=\bigcap _{n}M_{n}$.

Рассмотрим также две произвольные точки $x,y\in M$. По определению пересечения множеств, точки $x$ и $y$ принадлежат каждому множеству из набора $\{M_{n}\}$. Так как каждое из этих множеств выпуклое, то отрезок, соединяющий точки $x$ и $y$, также принадлежит каждому множеству из $\{M_{n}\}$. Отсюда, по свойству пересечения множеств, следует, что этот отрезок принадлежит и множеству $M$, а значит пересечение выпуклых множеств действительно выпукло. Теорема доказана.

Следует отметить, что пересечение двух выпуклых тел не всегда является выпуклым телом.

Выпуклая оболочка множества $A\subset L$ — это наименьшее выпуклое множество, которое его содержит. Им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество $A$. Всё пространство $L$ является выпуклым множеством, поэтому существует по меньшей мере одно выпуклое множество, содержащее $A$, а пересечение всех таких множеств будет непусто.

Пусть $x_{1},...,x_{n+1}$ — точки некоторого линейного пространства. Если вектора $x_{2}-x_{1},x_{3}-x_{2},...,x_{n+1}-x_{n}$ образуют линейно независимую систему, то говорят, что точки $x_{1},...,x_{n+1}$ находятся в общем положении. Выпуклая оболочка $n+1$ точки, находящихся в общем положении, называется n-мерным симплексом, а сами точки — вершинами этого симплекса. Нульмерный симплекс — это точка, одномерный — отрезок, двумерный — треугольник, трёхмерный — тетраэдр.

Если точки $x_{1},...,x_{n+1}$ находятся в общем положении, то любые $k+1$ из этих точек также находятся в общем положении, и, следовательно, образуют k-мерный симплекс, который называется k-мерной гранью данного n-мерного симплекса.

Теорема 2. Симплекс с вершинами $x_{1},...,x_{n+1}$ есть совокупность всех точек $x$, которые можно представить в виде

$x=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}x_{k}$,

где $\{a_{k}\}$ — вещественные числа такие, что

$a_{k}\geq 0,~\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}=1$.

Доказательство. Докажем, что указанная совокупность точек — обозначим её $M$ — содержит точки $x_{1},...,x_{n+1}$. Если взять все числа $a_{k}$, кроме одного — например $a_{i}$ — равными нулю, то $a_{i}=1$, поэтому выражение, указанное в условии теоремы, будет равно $x_{i}$, утверждение доказано.

Теперь докажем, что $M$ — выпуклое множество. Рассмотрим две точки $y_{1},y_{2}\in M$, тогда имеют место равенства

$y_{1}=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}^{(1)}x_{k}$,

$y_{2}=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}^{(2)}x_{k}$.

Пусть задано вещественно число $b\in [0;1]$, рассмотрим вектор

$~y=by_{1}+(1-b)y_{2}$.

Используя предыдущие равенства, получим:

$y=by_{1}+(1-b)y_{2}=\sum _{k=1}^{n+1}c_{k}x_{k}$,

где

$c_{k}=ba_{k}^{(1)}+(1-b)a_{k}^{(2)}$.

Так как $~b$, $~1-b$, $a_{k}^{(1)}$ и $a_{k}^{(2)}$ — неотрицательные числа, то

$c_{k}\geq 0$.

Кроме того,

$\sum _{k=1}^{n+1}c_{k}=b\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}^{(1)}+(1-b)\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}^{(2)}=b+(1-b)=1$,

то есть вектор $y=by_{1}+(1-b)y_{2}$ принадлежит множеству $M$, следовательно, оно является выпуклым.

Осталось доказать, что $M$ — наименьшее выпуклое множество, содержащее все точки $\{x_{k}\}$. По индукции можно доказать, что выпуклое множество, содержащее точки $x_{1},...,x_{n+1}$, должно содержать и все точки вида

$x=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}x_{k}$,

а значит нельзя указать выпуклое множество, являющееся подмножеством $M$. Теорема доказана.

Выпуклые функционалы

Функционал $p$, определённый на линейном действительном пространстве $L$, называется выпуклым, если для двух любых точек $x,y\in L$ и всех вещественных чисел $0\leq a\leq 1$ имеет место соотношение

$p(ax+(1-a)y)\leq ap(x)+(1-a)p(y)$.

Функционал $p$, определённый на линейном действительном пространстве $L$, называется положительно-однородным, если для любой точки $x\in L$ и всех $a>0$ имеет место равенство

$~p(ax)=ap(x)$.

Однородно-выпуклый функционал — это функционал, одновременно являющийся положительно-однородным и выпуклым.

Установим некоторые свойства однородно-выпуклых функционалов.

Свойство 1. Пусть $p$ — однородно-выпуклый функционал, тогда

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.

Доказательство.

Во-первых, в силу того, что $p$ — положительно-однородный функционал, имеет место равенство

$p(x+y)=p\left(2{{x+y} \over 2}\right)=2p\left({{x+y} \over 2}\right)=2p\left({x \over 2}+{y \over 2}\right)$.

Так как функционал является ещё и выпуклым, то

$p\left({x \over 2}+{y \over 2}\right)\leq p\left({x \over 2}\right)+p\left({y \over 2}\right)={{p(x)+p(y)} \over 2}$.

Следовательно:

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$,

что и требовалось доказать.

Свойство 2.

$~p(0)=0$.

Доказательство. Пусть $x=0$, тогда, по определению однородного функционала:

$p(0)=p(a\cdot 0)=0\cdot p(a)=0$.

Свойство 3.

$p(x)+p(-x)\geq 0$.

Доказательство.

$0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)$.

Данное свойство, в частности означает, что если $p(x)<0$, то обязательно $p(-x)>0$.

Свойство 4. Для любого (необязательно положительного) вещественного числа $a$

$p(ax)\geq ap(x)$.

Доказательство. Для случая $a>0$ свойство выполняется в силу определение однородно-выпуклого функционала. Если же $a=0$, то неравенство будет иметь место в силу свойства 2, так как

$0\cdot x=0$.

Рассмотрим случай, когда $a<0$. По свойству 3:

$0\leq p(ax)+p(|a|x)=p(ax)+|a|p(x)$,

следовательно

$p(ax)\geq -|a|p(x)=ap(x)$.

Теорема Хана-Банаха

Пусть $L$ - действительное линейное пространство, $L_{0}$ - некоторое его подпространство, а $f_{0}$ - линейный функционал, заданный на $L_{0}$.

Функционал $f$ заданный на всём $L$ называется продолжением функционала $f_{0}$, если для всех элементов $x\in L_{0}$ имеет место равенство

$f(x)=f_{0}(x)$.

Говорят, что функционал $f$ подчинён на подпространстве $L_{0}$ функционалу $f_{1}$, если для любого элемента $x\in L_{0}$ выполняется неравенство

$f(x)\leq f_{1}(x)$.

Теорема Хана-Банаха. Пусть $p$ - однородно-выпуклый функционал, заданный на действительном линейном пространстве $L$, а $L_{0}$ - подпространство $L$. Если $f_{0}$ - линейный функционал, заданный на $L_{0}$ и подчинённый на $L_{0}$ функционалу $p$, то существует продолжение $f$ функционал $f_{0}$ на всё пространство $L$, подчинённое $p$ на $L$.