Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений

Теория функций действительного переменного

  1. Эквивалентные множества
  2. Счётные множества
  3. Метрическое пространство
  4. Множества в метрическом пространстве
  5. Сходимость метрического пространства
  6. Непрерывные отображения метрического пространства
  7. Полные метрические пространства
  8. Принцип сжимающихся отображений
  9. Применение принципа сжимающихся отображений
  10. Линейные пространства
  11. Линейные функционалы
  12. Выпуклые множества и функционалы
  13. Нормированные и евклидовы пространства
  14. Непрерывные линейные функционалы
  15. Сопряжённое пространство
  16. Слабая сходимость
  17. Обобщённые функции
  18. Линейные операторы
  19. Компактные операторы
  20. Системы множеств
  21. Мера множеств, измеримые функции
  22. Интеграл Лебега
  23. Теория дифференцирования
  24. Пространства суммируемых функций
  25. Тригонометрические ряды
  26. Ортогональные системы функций
  27. Преобразование Фурье

Пусть  — метрическое пространство.

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое положительное действительное число , что для любых двух точек имеет место неравенство:

.

Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие

выполняется для таких точек , что

.

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство

.

Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения

.

Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение , заданное на полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть  — произвольная точка пространства . Положим

,

и так далее:

.

Докажем, что последовательность является фундаментальной. Пусть, для определённости, . Тогда

.

По определению сжимающего отображения:

.

Воспользуемся неравенством многоугольника:

.

По формуле для суммы геометрической прогрессии:

.

Используем полученные соотношения:

.

Так как , то при достаточно большом величина станет меньше любого наперёд заданного вещественного числа , откуда и следует фундаментальность последовательности.

Поскольку  — полное метрическое пространство, то последовательность будет иметь предел в этом пространстве. Обозначим этот предел как :

.

Отображение непрерывно, поэтому

.

Существование неподвижной точки доказано.

Докажем теперь её единственность. Доказательство проведём от противного. Пусть у отображения есть две неподвижные точки и , тогда имеют места равенства:

,
.

По определению сжимающего отображения:

,

с другой стороны, по определению неподвижной точки:

.

Из этих двух соотношений можно вывести, что

.

Так как , то выполнение последнего неравенство возможно только если , откуда, по аксиоме тождества метрики следует, что . Теорема доказана.

Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).

Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.

ПримерПравить

Пусть функция   отображает отрезок   в себя и удовлетворяет на нём условию Липшица:

 

с константой  . Условие сжимаемости выполнено, в частности, если функция   имеет на отрезке   производную, причём

 .

Очевидно, что в этом случае   — сжимающее отображение, поэтому в силу принципа сжимающих отображений последовательность

 

сходится к решению уравнения

 

для любого

 .

Рассмотрим теперь уравнение вида

 ,

где

 

и на отрезке   выполняются неравенства

 .

Введём функцию

 

и будем искать решение уравнения

 ,

равносильное исходному уравнению при  . Так как

 ,

то имеют место следующие неравенства

 .

Можно выбрать число   так, чтобы принцип сжимающих отображений был применим.