Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений
- Эквивалентные множества
- Счётные множества
- Метрическое пространство
- Множества в метрическом пространстве
- Сходимость метрического пространства
- Непрерывные отображения метрического пространства
- Полные метрические пространства
- Принцип сжимающихся отображений
- Применение принципа сжимающихся отображений
- Линейные пространства
- Линейные функционалы
- Выпуклые множества и функционалы
- Нормированные и евклидовы пространства
- Непрерывные линейные функционалы
- Сопряжённое пространство
- Слабая сходимость
- Обобщённые функции
- Линейные операторы
- Компактные операторы
- Системы множеств
- Мера множеств, измеримые функции
- Интеграл Лебега
- Теория дифференцирования
- Пространства суммируемых функций
- Тригонометрические ряды
- Ортогональные системы функций
- Преобразование Фурье
Пусть — метрическое пространство.
Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое положительное действительное число , что для любых двух точек имеет место неравенство:
- .
Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие
выполняется для таких точек , что
- .
Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство
- .
Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения
- .
Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение , заданное на полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство.
Пусть — произвольная точка пространства . Положим
- ,
и так далее:
- .
Докажем, что последовательность является фундаментальной. Пусть, для определённости, . Тогда
- .
По определению сжимающего отображения:
- .
Воспользуемся неравенством многоугольника:
- .
По формуле для суммы геометрической прогрессии:
- .
Используем полученные соотношения:
- .
Так как , то при достаточно большом величина станет меньше любого наперёд заданного вещественного числа , откуда и следует фундаментальность последовательности.
Поскольку — полное метрическое пространство, то последовательность будет иметь предел в этом пространстве. Обозначим этот предел как :
- .
Отображение непрерывно, поэтому
- .
Существование неподвижной точки доказано.
Докажем теперь её единственность. Доказательство проведём от противного. Пусть у отображения есть две неподвижные точки и , тогда имеют места равенства:
- ,
- .
По определению сжимающего отображения:
- ,
с другой стороны, по определению неподвижной точки:
- .
Из этих двух соотношений можно вывести, что
- .
Так как , то выполнение последнего неравенство возможно только если , откуда, по аксиоме тождества метрики следует, что . Теорема доказана.
Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).
Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.
Пример
правитьПусть функция отображает отрезок в себя и удовлетворяет на нём условию Липшица:
с константой . Условие сжимаемости выполнено, в частности, если функция имеет на отрезке производную, причём
- .
Очевидно, что в этом случае — сжимающее отображение, поэтому в силу принципа сжимающих отображений последовательность
сходится к решению уравнения
для любого
- .
Рассмотрим теперь уравнение вида
- ,
где
и на отрезке выполняются неравенства
- .
Введём функцию
и будем искать решение уравнения
- ,
равносильное исходному уравнению при . Так как
- ,
то имеют место следующие неравенства
- .
Можно выбрать число так, чтобы принцип сжимающих отображений был применим.