Теория функций действительного переменного/Интеграл Лебега

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Понятие интеграла Римана не пременимо для измеримых функций, которые могут быть разрывны во всей области определения или заданы на таком абстрактном множестве, что понятие интегральных сумм не имеет смысла. В отличие от интеграла Римана, основная идея интеграла Лебега состоит в том, что точки группируются по признаку близости значений функции в этих точках. Такое определение позволяет применить интеграл Лебега к функциям, заданным на любом пространстве с мерой. Если специально не указано иное, будем считать, что дана некоторая полная $\sigma$-аддитивная мера $\mu$, заданная на $\sigma$-алгебре множеств с единицей $X$. Все рассматриваемые множества $A\subset X$ предполагаются измеримыми, а функции — определёнными и измеримыми на всём $X$. Интеграл Лебега строится следующим образом: сначала понятие интеграла вводится для так называемых простых функций, а затем распространяется на весь класс измеримых функций с помощью предельного перехода.

Простые функции

Функция $f(x)$, определённая на некотором пространтсве $X$ с мерой, называется простой функцией, если она принимает конечное или счётное число различных значений. Следующая теорема даёт необходимый и достаточный признак измеримости простых функций.

Теорема 1. Функция $f(x)$, принимающая конечное или счётное число различных значений

$~y_{1},...,y_{n},...$,

измерима тогда и только тогда, когда все множества

$A_{n}=\left\{x:f(x)=y_{n}\right\}$

измеримы.

Доказательство.

Необходимость указанного условия очевидна, так как любое множество $A_{n}$ есть прообраз одноточечного множества $\{y_{n}\}$, а всякое одноточечное множество является борелевским.

Достаточность следует из того, что при выполнении условий теоремы, прообраз $f^{-1}(B)$ произвольного борелевского множества $B$ является объединением конечного или счётного числа измеримых множеств, а именно:

$f^{-1}(B)=\bigcup _{y_{n}\in B}A_{n}$,

а следовательно — измерим.

Использование простых функций в конструкции интеграла Лебега основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции $f(x)$ необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в ввиде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство.

Достаточность условия следует из того, что предел всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

Для того, чтобы доказать необходимость, рассмотрим произвольную измеримую функцию $f(x)$ и введём функции $f_{n}(x)$, которые определяются следующим образом:

${m \over n}\leq f(x)<{(m+1) \over n}\Rightarrow f_{n}(x)={m \over n}$.

Функции $f_{n}(x)$ являются простыми, так как принимают только рациональные значения, а множество рациональных чисел — счётно. Последовательность $\{f_{n}(x)\}$ равномерно сходится к $f(x)$, так как

$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\leq 1/n$.

Теорема доказана.

Для простых функций интеграл Лебега определяется очевидным образом. Пусть функция $f(x)$ принимает на множестве $A$ конечное или счётное число различных значений

$\{y_{n}\}$,

обозначим множества, на которых функция принимает одно и то же значение, следующим образом

$A_{n}=\left\{x:x\in A,~f(x)=y_{n}\right\}$.

Если ряд

$\sum _{n}y_{n}\mu \left(A_{n}\right)$

абсолютно сходится, то функция $f(x)$ называется интегрируемой или суммируемой по мере $\mu$ на множестве $A$, а интеграл от функции $f$ по множеству $A$ будет определяться равенством

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{n}y_{n}\mu \left(A_{n}\right)$.

Лемма. Пусть множество $A$ представлено в виде объединения непересекающихся множеств:

$A=\bigcup _{k}B_{k},~i\neq j\Rightarrow B_{i}\cap B_{j}=\varnothing$,

причём на множестве $B_{k}$ простая функция $f(x)$ принимает одно значение — $c_{k}$, тогда имеет место равенство

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{k}c_{k}\mu (B_{k})$,

а функция $f(x)$ интегрируема на множестве $A$ в тогда и только тогда, когда ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Доказательство. Каждое множество

$A_{n}=\{x:x\in A,~f(x)=y_{n}\}$

является объединением тех множеств $B_{k}$, для которых $c_{k}=y_{k}$. Поэтому имеет место следующее равенство

$\sum _{n}y_{n}\mu (A_{n})=\sum _{n}y_{n}\sum _{c_{k}=y_{n}}\mu (B_{k})=\sum _{k}c_{k}\mu (B_{k})$.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

$\sum _{n}|y_{n}\mu (A_{n})|=\sum _{n}|y_{n}|\mu (A_{n})=\sum _{n}|y_{n}|\sum _{c_{k}=y_{n}}\mu (B_{k})=\sum _{k}|c_{k}|\mu (B_{k})$.

Таким образом, ряды

$~\sum _{n}y_{n}\mu (A_{n})$

и

$~\sum _{k}c_{k}\mu (B_{k})$

абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Докажем некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

Свойство 1. Интеграл Лебега от суммы простых функций равен сумме интегралов от слагаемых:

$\int \limits _{A}\left(f(x)+g(x)\right)d\mu =\int \limits _{A}f(x)d\mu +\int \limits _{A}g(x)d\mu$,

причём существование интегралов в правой части данного равенства влечёт за собой существование интеграла в левой части.

Доказательство. Пусть функция $f(x)$ принимает значения $f_{i}$ на множествах $F_{i}\subseteq A$, функция $g(x)$ принимает значения $g_{j}$ на множествах $G_{j}\subseteq A$. Составим ряды из определения интеграла Лебега для простых функций:

$I_{f}=\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{i}f_{i}\mu (F_{i})$,

$I_{g}=\int \limits _{A}g(x)d\mu =\sum _{j}g_{j}\mu (G_{j})$.

Функция $f+g$ также является простой и принимает значения $f_{i}+g_{j}$ на множествах $F_{i}\cap G_{j}\subseteq A$. Из доказанной леммы следует, что

$I=\int \limits _{A}\left(f(x)+g(x)\right)=\sum _{i}\sum _{j}(f_{i}+g_{j})\mu (F_{i}\cap G_{j})$.

Системы множеств $\{F_{i}\}$ и $\{G_{j}\}$ являются покрытиями множества $A$, поэтому имеют места следующие равенства:

$\sum _{i}\mu (F_{i}\cap G_{j})=\mu (G_{j})$,

$\sum _{j}\mu (F_{i}\cap G_{j})=\mu (F_{i})$.

Поэтому

$I=\sum _{i}f_{i}\sum _{j}\mu (F_{i}\cap G_{j})+\sum _{j}g_{j}\sum _{i}\mu (F_{i}\cap G_{j})=\sum _{i}f_{i}\mu (F_{i})+\sum _{j}g_{j}\mu (G_{j})$.

Это равенство означает, что из абсолютной сходимости рядов $I_{f}$ и $I_{g}$ следует абсолютная сходимость ряда $I$, причём $I=I_{f}+I_{g}$.

Свойство 2. Для любого постоянного числа $k$ и простой функции $f(x)$ имеет место равенство

$\int \limits _{A}kf(x)d\mu =k\int \limits _{A}f(x)d\mu$,

причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой части.

Доказательство. Если $k=0$, то функция $f(x)$ везде равна нулю, поэтому равенство становится тривиальным. Рассмотрим случай $k\neq 0$. Если $f(x)$ — простая функция, принимающая значение $y_{n}$ на множестве $A_{n}$, то функция $kf(x)$ на множестве $A_{n}$ принимает значение $ky_{n}$. Так как умножение всех членов ряда на постоянное число не нарушает (абсолютной) сходимости, следовательно, если $f(x)$ является суммируемой на множестве $A$, то функция $kf(x)$ также является суммируемой на этом множестве.

Свойство 3. Если простая функция $f(x)$ ограничена на множестве $A$, то есть сущетсвует число $M$ такое, что в любой точке $x\in A$ выполняется неравенство

$\left|f(x)\right|\leq M$,

то функция $f(x)$ является суммируемой на множестве $A$ и

$\left|\int \limits _{A}f(x)d\mu \right|\leq M\mu (A)$.

Доказательство. Пусть функция $f(x)$ принимает значения $y_{n}$ на множествах $A_{n}$. По определению интеграла Лебега для простых функций:

$I=\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{n}y_{n}\mu (A_{n})$,

если последний ряд абсолютно сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

$\sum _{n}\left|y_{n}\mu (A_{n})\right|=\sum _{n}|y_{n}|\mu (A_{n})$,

так как $|f(x)|\leq M$, то и $|y_{n}|\leq M$, следовательно

$\sum _{n}\left|y_{n}\mu (A_{n})\right|\leq \sum _{n}M\mu (A_{n})=M\sum _{n}\mu (A_{n})$.

Система множеств

$\{A_{n}\}$

является покрытием множества $A$, поэтому

$\sum \mu (A_{n})=\mu (A)$,

а следовательно

$\sum _{n}\left|y_{n}\mu (A_{n})\right|\leq M\mu (A)$.

Это значит, что ряд

$~\sum _{n}y_{n}\mu (A_{n})$

сходится абсолютно, то есть простая функция, по определению, $f(x)$ является суммируемой.

По правилу треугольника для модуля:

$|I|=\left|\sum _{n}y_{n}\mu (A_{n})\right|\leq \sum _{n}\left|y_{n}\right|\mu (A_{n})$.

Из уже доказанного следует, что

$|I|\leq \sum _{n}\left|y_{n}\right|\mu (A_{n})\leq M\mu (A)$.

Интеграл Лебега для произвольных функций на множестве конечной меры

Произвольная функция $f(x)$ называется суммируемой (интегрируемой) на множестве A, если существует последовательность простых суммируемых на множестве $A$ функций $\{f_{n}(x)\}$, сходящаяся равномерно к $f(x)$. Предел

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu$

называют интегралом функции f(x) по множеству A и обозначают

$\int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Для того, чтобы данное определение было корректным, необходимо выполнение следующих условий:

1. Указанный в определении предел существует для любой равномерно сходящейся последовательности простых суммируемых на множестве $A$ функций.
2. Указанный предел не зависит от выбора последовательности $\{f_{n}(x)\}$.
3. Для простых функций данное определение переходит в определение интеграла Лебега от простой функции, данное в предыдущем разделе.

Докажем, что данные условия действительно выполняются. Рассмотрим равномерно сходяющуюся последовательность суммируемых на множестве $A$ простых функций

$~\{f_{n}(x)\}$.

Оценим разность интегралов от двух произвольных функций этой системы $f_{n}(x)$ и $f_{m}(x)$. По Свойствам 1 и 2 интеграла Лебега от простых функций:

$\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu -\int \limits _{A}f_{m}(x)d\mu =\int \limits _{A}\left(f_{n}(x)-f_{m}(x)\right)d\mu$.

По определению верхней грани, имеет место следующее неравенство:

$\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|\leq \sup _{x\in A}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|$,

следовательно, по Свойству 3 интеграла Лебега для простых функций:

$\left|\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu -\int \limits _{A}f_{m}(x)d\mu \right|\leq \sup _{x\in A}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|\mu (A)$.

Таким образом, если множество $A$ имеет конечную меру, то предел из определения действительно существует.

Независимость предела от выбора последовательности докажем от противного: пусть имеется две последовательности суммируемых на множестве $A$ простых функций, сходящихся к функции $f(x)$, причём пределы последовательностей значений интеграла Лебега от этих функций не совпадают. Составим последовательность значений интегралов из обоих последовательностей. По доказанному эта последовательность будет иметь предел. С другой стороны, последовательность сходится к тому же пределу, что и любая её подпоследовательность, но по построению из полученной последовательности можно выбрать две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам — получили противоречие, значит предел действительно не зависит от выбора последовательности функций.

Последнее условие выполняется, так как в случае простой функции $f(x)$ можно взять стационарную последовательность, то есть такую, все члены которой равны $f(x)$.

Свойства интеграла Лебега

Свойство 1. Интеграл от функции, тождественно равной единице, равен мере множества, по которому производится интегрирование:

$\int \limits _{A}1\cdot d\mu =\mu (A)$.

Доказательство. Функция, тождественно равная единице, является простой, так как принимает только одно значение, а равенство получается непосредственно из определения интеграла Лебега для простых функций.

Свойство 2. Для любого постоянного числа $k$ имеет место равенство

$\int \limits _{A}kf(x)d\mu =k\int \limits _{A}f(x)d\mu$,

причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

Доказательство. Для простых функций данное утверждение уже доказано. Рассмотрим функцию $f(x)$, не являющуюся простой. Если функция $f(x)$ является суммируемой, то существует последовательность простых функций $\{f_{n}(x)\}$, равномерно сходящаяся к $f(x)$, и выполняются равенства

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu$.

Функции последовательности $\{k\cdot f_{n}(x)\}$ также будут простыми, а сама последовательность будет равномерно сходится к функции $k\cdot f(x)$. По Свойству 2 интеграла Лебега от простых функций

$\int \limits _{A}k\cdot f_{n}(x)d\mu =k\cdot \int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu$.

По определению интеграла Лебега

$\int \limits _{A}k\cdot f(x)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}k\cdot f_{n}(x)d\mu$.

А значит

$\int \limits _{A}k\cdot f(x)d\mu =k\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu =k\cdot \int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Свойство 3. Аддитивность:

$\int \limits _{A}\left(f(x)+g(x)\right)d\mu =\int \limits _{A}f(x)d\mu +\int \limits _{A}g(x)d\mu$,

причём существование интегралов в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

'Доказательство. Рассмотрим две функции: $f(x)$ и $g(x)$. Если эти функции являются суммируемыми, то существуют последовательности простых функций $\{f_{n}(x)\}$ и $\{g_{n}(x)\}$, равномерно сходящиеся к функциям $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, и выполняется равенства

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu$,

$\int \limits _{A}g(x)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}g_{n}(x)d\mu$.

По Свойству 1 интеграла Лебега от простых функций:

$\int \limits _{A}\left(f_{n}(x)+g_{n}(x)\right)d\mu =\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu +\int \limits _{A}g_{n}(x)d\mu$.

По определению интеграла Лебега для произвольной функции:

$\int \limits _{A}\left(f(x)+g(x)\right)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}\left(f_{n}(x)+g_{n}(x)\right)d\mu$.

Объединяя два этих равенства, получим:

$\int \limits _{A}\left(f(x)+g(x)\right)d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu +\int \limits _{A}g_{n}(x)d\mu \right)=\int \limits _{A}f(x)d\mu +\int \limits _{A}g(x)d\mu$.

Свойство 4. Ограниченная на множестве $A$ функция $f$ суммируема на $A$.

Доказательство. Для простых функций — это свойство уже доказано. Для произвольной ограниченной суммируемой функции построим последовательность простых функций как в доказательстве теоремы 2:

${m \over n}\leq f(x)<{{m+1} \over n}\Rightarrow f_{n}(x)=m$.

Каждая из функций $f_{n}$ является простой и ограниченной, а следовательно (по свойству 3 простых функций) — суммируемой. Таким образом, функция $f(x)$ — это предел последовательности простых суммируемых функций, а значит она является суммируемой.

Свойство 5. Монотонность: если $f(x)\geq 0$ на $A$, то

$\int \limits _{A}f(x)d\mu \geq 0$

(при условии, что интеграл сущетсвует).

Доказательство.

Для простых функций данное свойство следует из определения интеграла Лебега. В общем случае, если $f(x)$ — измеримая неотрицательная функция, то найдётся последовательность неотрицательных простых функций, равномерно сходящаяся к $f(x)$. Действительно, последовательность $\{f_{n}\}$ из доказательства Теоремы 2 будет состоять из неотрицательных простых функций, если $f(x)\geq 0$. По определению интеграла Лебега для простых функций, интеграл от неотрицательной простой функции есть неотрицательное вещественное число. Следовательно, интеграл Лебега от произвольной неотрицательной измеримой функции есть предел последовательности неотрицательных вещественных чисел, то есть неотрицательное число.

Свойство 5а. Если $f(x)\geq g(x)$ на $A$, то

$\int \limits _{A}f(x)d\mu \geq \int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Доказательство.

Рассмотрим интеграл

$\int \limits _{A}\left(f(x)-g(x)\right)d\mu$.

По свойствам 2 и 3:

$\int \limits _{A}\left(f(x)-g(x)\right)d\mu =\int \limits _{A}f(x)d\mu -\int \limits _{A}g(x)d\mu$.

C другой стороны, так как

$f(x)\geq g(x)\Rightarrow f(x)-g(x)\geq 0$,

следовательно, по свойству 5:

$\int \limits _{A}f(x)d\mu -\int \limits _{A}g(x)d\mu =\int \limits _{A}\left(f(x)-g(x)\right)d\mu \geq 0$,

откуда и получается, что

$\int \limits _{A}f(x)d\mu \geq \int \limits _{A}g(x)d\mu$.

Свойство 5б. Если $m\leq f(x)\leq M$ (почти) всюду на $A$, то

$m\mu (A)\leq \int \limits _{A}f(x)d\mu \leq M\mu (A)$.

Доказательство.

Свойство 6. Интеграл по множеству меры нуль равен нулю:

$\mu (A)=0\Rightarrow \int \limits _{A}f(x)d\mu =0$.

Доказательство.

По определению меры:

$A_{n}\subset A\Rightarrow 0\leq \mu (A_{n})\leq \mu (A)$,

поэтому если мера множества $A$ равна нулю, то нулю равна мера любого его подмножества. Таким образом, все члены ряда, определяющего интеграла Лебега для простых функций, будут равны нулю, что и доказывает данное свойство для простых функций.

Интеграл Лебега произвольной измеримой функции есть предел последовательности интегралов простых измеримых функций, все интегралы этой последовательности, в данном случае, равны нулю как интегралы простых функций по множеству меры нуль. Следовательно, интеграл Лебега по множеству меры нуль произвольной измеримой функции равен нулю.

Свойство 6а. Если почти всюду на множестве $A$ выполняется равенство $f(x)=g(x)$, то имеет место равенство

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\int \limits _{A}g(x)d\mu$,

причём интегралы существуют или не существуют одновременно.

Доказательство.

Пусть сначала $f$ и $g$ — простые функции. Множество $A$ можно представить в виде объединения непересекающихся множеств

$A=\bigcup _{i}A_{i}\cup B$,

где $B$ — это множество, на котором $f(x)\neq g(x)$, а на каждом из множеств $A_{i}$ функции $f$ и $g$ принимают одно и тоже значение $y_{i}$. Множество $B$ также можно представить в виде объединения непересекающихся множеств

$B=\bigcup _{n}B_{n}$.

Функция $f$ принимает на $B_{n}$ значение $f_{n}$, а функция $g$ — $g_{n}$, причём

$f_{n}\neq g_{n}$.

Рассмотрим два ряда:

$~F=\sum _{i}y_{i}\mu (A_{i})+\sum _{n}f_{n}\mu (B_{n})$,

$~G=\sum _{i}y_{i}\mu (A_{i})+\sum _{n}g_{n}\mu (B_{n})$.

По условию теоремы : $\mu (B_{n})=0$, так как $B_{n}$ — это подмножества множества меры нуль, то

$~\mu (B_{n})=0$,

поэтому:

$~F=\sum _{i}y_{i}\mu (A_{i})$,

$~G=\sum _{i}y_{i}\mu (A_{i})$.

Таким образом: ^ $F=G$. C другой стороны, по Лемме 2:

$F=\int \limits _{A}f(x)d\mu$,

$G=\int \limits _{A}g(x)d\mu$.

Отсюда следует, что свойство действительно справедливо для простых функций.

Свойство 7. Если функция $f(x)$ суммируема на множестве $A$ и почти всюду на этом множестве имеет место соотношение

$|g(x)|\leq f(x)$,

то функция $g(x)$ также суммируема на множестве $A$ и

$\left|\int \limits _{A}g(x)d\mu \right|\leq \int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Доказательство.

Обозначим множество, на котором выполняется равенство $f(x)=g(x)$ как $B$, тогда:

$~\mu (B)=\mu (A)$,

$\mu (A\vartriangle B)=0$.

Пусть сначала $f$ и $g$ — простые функции. В этом случае множество $B$ можно представить в виде объединения конечного или счётного числа множеств $B_{n}$, на каждом из которых функции $f$ и $g$ постоянны:

$x\in B_{n}\Rightarrow f(x)=f_{n}$,

$x\in B_{n}\Rightarrow g(x)=g_{n}$,

причём, по условию теоремы, выполняется неравенство

$|g_{n}|\leq f_{n}$.

Так как функция $f$ является суммируемой, то

$\sum _{n}|g_{n}|\mu (B_{n})\leq \sum _{n}f_{n}\mu (B_{n})=\int \limits _{B}f(x)d\mu$

Свойство 8. Интегралы

$I_{1}=\int \limits _{A}f(x)d\mu$ и $I_{2}=\int \limits _{A}|f(x)|d\mu$

существуют или не существуют одновременно.

Доказательство.

Так как

$f(x)\leq |f(x)|$,

то, по свойству 7, из существования интеграла $I_{2}$ следует существование интеграла $I_{1}$.

В случае простой функции, обратное вытекает из определения интеграла Лебега для простой функции.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть интеграл $I_{1}$ существует, тогда существует последовательность простых функций

$~\{f_{n}\}$.

Рассмотрим последовательность модулей этих функций:

$~\{|f_{n}|\}$.

По доказанному, функции $|f_{n}|$ являются суммируемыми. Воспользуемся неравенством

$\left|\left|f(x)\right|-\left|f_{n}(x)\right|\right|\leq |f(x)-f_{n}(x)|$.

Откуда следует, что последовательность простых суммируемых функций $\{|f_{n}(x)|\}$ сходится к $|f(x)|$, а следовательно, по определению интеграла Лебега, функция $|f(x)|$ является суммируемой, то есть существует предел

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}|f_{n}(x)|d\mu =\int \limits _{A}|f(x)|d\mu$.

Интеграл Лебега как функция множества

В предыдущих разделах рассматривался интеграл Лебега по фиксированному множеству. В данном разделе будут установлены некоторые свойства интеграла Лебега как функции множества

$F(A)=\int \limits _{A}f(x)d\mu$

заданной на совокупности измеримых функций.

σ-аддитивность интеграла Лебега

Теорема 3. Если множество $A$ является объединением счётного набора непересекающихся множеств:

$A=\bigcup _{n}A_{n},~i\neq j\rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$,

то имеет место равенство

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu$,

причём из существования интеграла в левой части вытекает существование и абсолютная сходимость ряда в правой части.

Доказательство.

Докажем сначала утверждение теоремы для простых функций, то есть функций, принимающих счётное множество значений

$~\{y_{1},y_{2},...y_{n},...\}$.

Пусть

$B_{k}=\{x:x\in A,~f(x)=y_{k}\}$,

$B_{nk}=\{x:x\in A_{n},~f(x)=y_{k}\}$.

Тогда интеграл Лебега от функции $f(x)$ можно представить в виде ряда:

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{k}y_{k}\mu (B_{k})=\sum _{k}y_{k}\sum _{n}\mu (B_{nk})=\sum _{n}\sum _{k}y_{k}\mu (B_{nk})=\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu$.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

Теперь рассмотрим произвольную (не являющуюся простой) суммируемую функцию $f$. Из интегрируемости функции на множестве $A$ следует, что для любого вещественного $\epsilon >0$ существует простая интегрируемая на $A$ функция $g$ такая, что

$~|f(x)-g(x)|<\epsilon$.

Из этого неравенства, по свойствам интеграла Лебега, следует

$\left|\int \limits _{A}f(x)d\mu -\int \limits _{A}g(x)d\mu \right|\leq \epsilon \mu (A)$.

Так как утверждение теоремы доказано для простых функций, то имеет место равенство

$\int \limits _{A}g(x)d\mu =\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu$,

причём функция $g$ является интегриуемой на каждом из подмножеств $A_{n}$, а ряд в правой части последнего равенства сходится абсолютно. Отсюда следует, что функция $f(x)$ интегрируема на каждом из $A_{n}$ и

$\sum _{n}\left|\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu \right|\leq \sum _{n}\epsilon \mu (A_{n})=\epsilon \mu (A)$.

Из последнего неравенства с помощью неравенством треугольника можно получить оценку:

$\left|\sum _{n}\left(\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu \right)\right|\leq \sum _{n}\left|\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu \right|\leq \epsilon \mu (A)$.

Рассмотрим теперь разность

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A}f(x)d\mu =\left(\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A}g(x)d\mu \right)+\left(\int \limits _{A}g(x)d\mu -\int \limits _{A}f(x)d\mu \right)$.

Воспользовавшись в первом слагаемом равенством

$\int \limits _{A}g(x)d\mu =\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu$,

получим

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A}f(x)d\mu =\left(\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}g(x)d\mu \right)+\left(\int \limits _{A}g(x)d\mu -\int \limits _{A}f(x)d\mu \right)$.

Применяя неравенство треугольника, получим:

$\left|\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu -\int \limits _{A}f(x)d\mu \right|\leq 2\epsilon \mu (A)$.

Так как число $\epsilon$ может быть выбрано произвольно малым, то

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}f(x)d\mu =\int \limits _{A}f(x)$.

Следствие. Если функция $f$ интегрируема на некотором множестве $A$, то она интегрируема и на любом его измеримом подмножестве $A'\subset A$.

Теорема 4. Если множество $A$ представлено в виде объединения непересекающихся множеств:

$A=\bigcup _{n}A_{n},~i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$

и ряд

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu$

сходится, то функция $f$ является интегрируемой на множестве $A$ и имеет место равенство

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}|f(x)|$.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, сначала докажем утверждение для случая простой функции.

Пусть функция $f(x)$ принимает счётное множество значений $~\{f_{1},f_{2},...,f_{n},...\}$. Пусть также

$B_{i}=\{x:x\in A,~f(x)=f_{i}\}$,

$D_{ni}=A_{n}\cap B_{i}$.

Множества $B_{i}$ по определению являются подмножествами $A$. С другой стороны, по условию теоремы множества $A_{n}$ покрывают множество $A$, значит:

$B_{i}=\bigcup _{n}D_{ni}$.

$\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu =\sum _{i}|f_{i}|\mu (D_{ni})$.

Произведём суммирование по $n$:

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu =\sum _{n}\sum _{i}|f_{i}|\mu (D_{ni})=\sum _{i}|f_{i}|\mu (B_{i})$.

Так как первый из рядов сходится по условию теоремы, то сходятся и остальные ряды. Последний ряд является, по определению, интегралом Лебега для простой функции $|f|$. А так как функции $f$ и $|f|$ являются или не являются суммируемыми одновременно, то существует интеграл

$\int \limits _{A}f(x)d\mu =\sum _{i}f_{i}\mu (B_{i})$.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

Произвольную функцию $f$ можно аппроксимировать с любой наперёд заданной точностью $\epsilon$ простой функцией $g(x)$: $|f(x)-g(x)|<\epsilon$. Из этого неравенства следует, что

$\int \limits _{A_{n}}|g(x)|d\mu =\int \limits _{A_{n}}|f(x)+g(x)-f(x)|d\mu \leq \int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu +\epsilon \mu (A_{n})$.

Ряд

$\sum \mu (A_{n})=\mu (A)$

сходится по свойствам меры, а ряд

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu$

сходится по условию теоремы. Из этого следует сходимость ряда

$\sum _{n}\int \limits _{A_{n}}|g(x)|d\mu$,

что равносильно суммируемости простой функции $g(x)$ на множестве $A$. Так как $\epsilon$ можно выбрать сколь угодно малым, то функция $f(x)$ также является интегрируемой по определению интеграла Лебега для функции, не являющейся простой. Теорема доказана.

Неравенство Чебышева

Если функция $\phi (x)$ — неотрицательна на множестве $A$ и задано действительное число $c>0$, то

$\mu \{x:x\in A,~\phi (x)\geq c\}\leq {1 \over c}\int \limits _{A}\phi (x)d\mu$.

Для доказательства рассмотрим множество $B=\{x:x\in A,~\phi (x)\geq c\}$.

По свойствам интеграла Лебега:

$\int \limits _{A}\phi (x)d\mu =\int \limits _{B}\phi (x)d\mu +\int \limits _{A\setminus B}\phi (x)d\mu \geq \int \limits _{B}\phi (x)d\mu \geq c\mu (B)$,

откуда следует, что

$\mu (B)=\mu \{x:x\in A,~\phi (x)\geq c\}\leq {1 \over c}\int \limits _{A}\phi (x)d\mu$.

Следствие. Если имеет место равенство

$\int \limits _{A}|f(x)|d\mu =0$,

то функция $f(x)$ почти всюду равна нулю.

Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

Теорема 5 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега). Если $f(x)$ — суммируемая на множестве $A$ функция, то для каждого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что для всякого измеримого подмножества $e\subset A$ такого, что $\mu (e)<\delta$, имеет место неравенство

$\left|\int \limits _{e}f(x)d\mu \right|<\epsilon$.

Доказательство

Пусть

$A_{n}=\{x:x\in A,~n\leq |f(x)|<n+1\}$,

$B_{N}=\bigcup _{n=0}^{N}A_{n}$,

$C_{N}=A\setminus B_{N}$.

В силу Теоремы 3:

$\int \limits _{A}|f(x)|d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu$,

причём ряд в правой части сходится. Это означает, что можно выбрать натуральное число $N$ так, чтобы

$\int \limits _{C_{N}}|f(x)|d\mu =\sum _{n=N+1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}|f(x)|d\mu \leq {\epsilon \over 2}$.

Пусть задано некоторое множество $e$, тогда

$\left|\int \limits _{e}f(x)d\mu \right|\leq \int \limits _{e}|f(x)|d\mu =\int \limits _{e\cap B_{N}}|f(x)|d\mu +\int \limits _{e\cap C_{N}}|f(x)|d\mu$.

Рассмотрим интегралы, стоящие в правой части по-отдельности. Начнём со второго из этих интегралов:

$\int \limits _{e\cap C_{N}}|f(x)|d\mu \leq \int \limits _{C_{N}}|f(x)|d\mu <{\epsilon \over 2}$.

Рассмотрим теперь первый интеграл, по определению множества $B_{N}$:

$\int \limits _{e\cap B_{N}}|f(x)|d\mu <(N+1)\mu (e)$.

Таким образом:

$\left|\int \limits _{e}f(x)d\mu \right|<(N+1)\mu (e)+{\epsilon \over 2}$.

Теперь нужно подобрать $\delta$ так, чтобы из $\mu (e)<\delta$ следовало, что

$\left|\int \limits _{e}f(x)d\mu \right|<\epsilon$.

Очевидно, что для этого достаточно взять

$0<\delta <{\epsilon \over {2(N+1)}}$.

Теорема доказана.

Выводы

Установленные результаты приводят к следующему выводу. Пусть неотрицательная функция $f$ является суммируемой в пространстве $X$ по мере $\mu$. Тогда функция

$F(A)=\int \limits _{A}f(x)d\mu$

определена для всех измеримых подмножеств $A\subset X$, неотрицательная и σ-аддитивна. Таким образом, интеграл от неотрицательной функции как функция множества обладает всем свойствами σ-аддитивной меры, определённой на той же σ-алгебере, что и мера $\mu$. Кроме того

$\mu (A)=0\Rightarrow F(A)=0$.

Предельный переход под знаком интеграла

В математическом анализе устанавливается, что достаточным условием возможности предельного перехода под знаком интеграла является равномерная сходимость последовательности. В данном разделе рассматриваются обобщения соответствующих классических теорем на случай интеграла Лебега.

Теорема 6 (Лебег). Если последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится к некоторому пределу $f$ на множестве $A$ и для всех натуральных чисел $n$ имеет место неравенство

$|f_{n}(x)|\leq \phi (x)$,

где $\phi (x)$ — интегрируемая на множестве $A$, то предельная функция $f$ также интегрируема на $A$ и

$\int \limits _{A}f_{n}(x)dx\rightarrow \int \limits _{A}f(x)dx$.

Доказательство.

Пусть задано произвольное вещественно число $\epsilon >0$. По теореме 5 можно указать такое вещественное число $\delta >0$, что из $\mu (B)<\delta$ следует, что

$\int \limits _{B}\phi (x)d\mu <{\epsilon \over 4}$.

Так как $|f_{n}(x)|<\phi (x)$, то

$\left|\int \limits _{B}f_{n}(x)d\mu \right|\leq \int \limits _{B}\left|f_{n}(x)\right|d\mu \leq \int \limits _{B}\phi (x)d\mu <{\epsilon \over 4}$.

Из условия теоремы следует, что $|f(x)|\leq \phi (x)$, а значит, по свойству 7, функция $f$ является интегрируемой. Кроме того, выполняется следующее неравенство:

$\left|\int \limits _{B}f(x)d\mu \right|\leq \int \limits _{B}\left|f(x)\right|d\mu \leq \int \limits _{B}\phi (x)d\mu <{\epsilon \over 4}$.

В силу теоремы Егорова, множество $B$ можно выбрать таким образом, чтобы последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходилась на множестве $A\setminus B$ равномерно. Следовательно, можно указать такое целое число $N$, что для всех $n\geq N$ и $x\in A\setminus B$ выполняется неравенство

$|f(x)-f_{n}(x)|<{\epsilon \over {2\mu (A\setminus B)}}$.

Следовательно

$\int \limits _{A\setminus B}|f(x)-f_{n}(x)|d\mu <{\epsilon \over 2}$.

В силу аддитивности интеграла Лебега:

$\int \limits _{A}f(x)d\mu -\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu =\int \limits _{A\setminus B}[f(x)-f_{n}(x)]d\mu +\int \limits _{B}f(x)d\mu -\int \limits _{B}f_{n}(x)d\mu$.

Используя неравенство многоугольника и неравенства, полученные выше, получим:

$\left|\int \limits _{A}f(x)d\mu -\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu \right|\leq {\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 4}+{\epsilon \over 4}=\epsilon$.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть дана последовательность ограниченных функций $\{f_{n}(x)\}$, то есть $|f_{n}(x)|\leq M=const$, и $f_{n}\rightarrow f$, тогда

$\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu \rightarrow \int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Замечание. Так как значения функции на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла Лебега, то в данной теореме достаточно предположить, что последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится к функции $f$ почти всюду и что неравенства $|f_{n}(x)|\leq \phi (x)$ выполняются почти всюду.

Теорема 7 (Б. Леви). Пусть на множестве $A$ задана последовательность интегрируемых функций $\{f_{n}(x)\}$ такая, что

$f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq ...\leq f_{n}(x)\leq ...$.

Причём интегралы этих функций ограничены в совокупности:

$\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu \leq K$.

Тогда почти всюду на множестве $A$ существует конечный предел

$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$,

функция $f$ является интегрируемой и

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu =\int \limits _{A}f(x)d\mu$.

Теорема 8 (Фату). Если последовательность измеримых неотрицательных функций $\{f_{n}(x)\}$ сходится почти всюду на множестве $A$ к функции $f$ и

$\int \limits _{A}f_{n}(x)d\mu \leq K$,

то функция $f$ является интегрируемой на множестве $A$ и

$\int \limits _{A}f(x)d\mu \leq K$.

Сравнение интегралов Римана и Лебега

Теорема {связь между интегралами Римана и Лебега}.

Всякая функция, интегрируемая по Риману на отрезке $[a;b]$, интегрируема и по Лебегу на этом отрезке, и оба её интеграла равны между собой.

Замечание. Обратное утверждение наверно [контрпример: функция Дирихле $Di(x)$].