Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Определение и примеры

Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим множество вещественных чисел с «естественной» метрикой $\rho (x,y)=|x-y|$, то есть метрическое пространство

$(\mathbb {R} ,\rho )$.

Если $\{x_{n}\}$ — фундаментальная последовательность элементов пространства $(\mathbb {R} ,\rho )$, то

$(\forall \epsilon >0)\quad (\exists n_{0}\in \mathbb {N} )\quad (\forall m>n_{0})\;(\forall n>n_{0})\quad |x_{n}-x_{m}|<\epsilon$.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность $\{x_{n}\}$ сходится, а следовательно $(\mathbb {R} ,\rho )$ — полное метрическое пространство.

Пример 2. Пусть M = (0; 1), ρ(x, y)=|x-y|. Рассмотрим последовательность

$\left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}$

элементов множества $M\subset \mathbb {R}$. Так как

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0$,

то последовательность

$\left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}$

сходится и (согласно свойству 1 фундаментальных последовательностей) является фундаментальной. Но $0\notin M$, поэтому пространство (M, ρ) — не является полным метрическим пространством. Причина этого заключается в том, что интервал $(0;1)$ — незамкнутый.

Замечание. Последовательность

$\left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}$ 

является примером фундаментальной последовательности элементов множества M, которая не сходится в M.

Пример 3. Пусть $M=\mathbb {Q}$, ρ(x, y)=|x — y|. Рассмотрим следующую последовательность

$\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}$

рациональных чисел.

Как известно из математического анализа:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e\notin \mathbb {Q}$.

Таким образом, в метрическом пространстве (Q, ρ) существуют фундаментальные послеовательности, которые не сходятся к элементам $\mathbb {Q}$, следовательно, (Q, ρ) не является полным метрическим пространством.

Пример 4. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с метрикой

$\rho ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$.

Покажем, что метрическое пространство $(\mathbb {R} ^{n},\rho )$ — полное.

Рассмотрим фунментальную последовательность

$\{x^{(k)}\}$

(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху). По определению фундаментальной последовательности,

$(\forall \epsilon >0)\;(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall k,m>n_{0})$

выполняется неравенство

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(m)}\right)^{2}}}<\epsilon$.

Пример 5. Покажем, что метрическое пространство непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $C[a,b]$ с метрикой

$\rho (f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$

является полным.

Рассмотрим фундаментальную последовательность непрерывных функций $\{x_{n}\}$, тогда для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такой номер $n_{0}$ что при $n,m>n_{0}$ для любого $t\in [a;b]$ выполняется неравенство

$|x_{n}(t)-x_{m}(t)|<\epsilon$,

это означает, что последовательность $\{x_{n}(t)\}$ сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция

$x(t)=\lim _{n\to \infty }x_{n}(t)$

Если в неравенстве

$|x_{n}(t)-x_{m}(t)|<\epsilon$,

перейти к пределу при $m\to \infty$, то оно перейдёт в неравенство

$|x_{n}(t)-x(t)|<\epsilon$

справедливое для всех $n>n_{0}$ и любого $t\in [a;b]$, а значит $\rho (x,x_{n})<\epsilon$, таким образом последовательность $\{x_{n}(t)\}$ к $x(t)$ в метрике пространства $C[a;b]$.

Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций $C_{2}[-1;1]$ не является полным. Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида

$g_{n}(t)={\begin{cases}-1,&-1\leq t\leq -{\frac {1}{n}}\\t,&-{\frac {1}{n}}\leq t\leq {\frac {1}{n}}\\1,&{\frac {1}{n}}\leq t\leq 1\end{cases}}$.

Последовательность $\{g_{n}\}$ является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции $g_{n}$ и $g_{m}$, они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины

${\frac {2}{\min(n,m)}}$,

причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно

$\rho (g_{n},g_{m})^{2}=\int \limits _{-1}^{1}(g_{n}(t)-g_{m}(t))^{2}dt\leq {\frac {2}{\min(n,m)}}$.

Однако последовательность $\{g_{n}\}$ не сходится ни к одной непрерывной функции из $C_{2}[0;1]$. Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию $f\in C_{2}[-1;1]$ и разрывную функцию

$g(t)={\begin{cases}-1,&-1\leq t\leq 0\\1,&0<t\leq 1\end{cases}}$.

В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):

${\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}[f(t)-g(t)]^{2}dt}}\leq {\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}[f(t)-g_{n}(t)]^{2}dt}}+{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}[g_{n}(t)-g(t)]^{2}dt}}$.

Так как $f$ — непрерывная функция, а $g$ имеет разрыв, то

$\int \limits _{-1}^{1}[f(t)-g(t)]^{2}dt>0$.

С другой стороны:

$\int \limits _{-1}^{1}[g_{n}(t)-g(t)]^{2}dt\leq {\frac {2}{n}}$

и следовательно

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-1}^{1}[g_{n}(t)-g(t)]^{2}dt=0$.

Таким образом:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}[f(t)-g_{n}(t)]^{2}dt}}\geq {\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}[f(t)-g(t)]^{2}dt}}>0$.

Теоремы о полных пространствах

Теорема 1. Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и $F\subset M$. Метрическое пространство (F, ρ) является полным тогда и только тогда, когда $[F]=F$ (F — замкнутое.)

Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Необходимость.

Рассмотрим полное метрическое пространство $R$ и последовательность $\{B_{n}\}$ вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами $\{x_{n}\}$ и радиусами $r_{n}$:

$B_{n}=B[x_{n},r_{n}]$.

Последовательность центров $x_{n}$ является фундаментальной, так как

$\rho (x_{n},x_{m})<r_{n}$,

и

$\lim _{n\to \infty }r_{n}=0$.

Так как пространство $R$ является полным, то последовательность $\{x_{n}\}$ сходится и

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}\in R$.

Шар $B_{n}$ содержит все точки последовательность $\{x_{n}\}$ кроме, быть может, точек $x_{1},...,x_{n-1}$, а следовательно $x$ — точка прикосновения любого из шаров $B_{n}$, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что

$\forall n:x\in B_{n}$.

По определению пересечения множеств

$x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}$.

Таким образом, пересечение шаров $B_{1},...,B_{n},...$ действительно не является пустым множеством.

Достаточность.

Пусть $\{x_{n}\}$ — фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер $n_{1}$, что для $n>n_{1}$ будет выполняться неравенство

$\rho (x_{n_{1}},x_{n})<{\frac {1}{2}}$.

Обозначим

$B_{1}=B[x_{n_{1}},1]$.

Следующий номер $n_{2}>n_{1}$ выберем таким образом, чтобы при $n>n_{2}$ выполнялось неравенство

$\rho (x_{n_{2}},x_{n})<{\frac {1}{4}}$.

Обозначим

$B_{2}=B\left[x_{n_{2}},2^{-1}\right]$.

Пусть мы уже выбрали номера

$n_{1}<n_{2}<...<n_{k}$.

Номер $n_{k+1}>n_{k}$ выберем так, чтобы при $n>n_{k+1}$ выполнялось неравенство

$\rho (x,x_{n_{k+1}})<{\frac {1}{2^{k}}}$,

обозначим

$B_{k+1}=B\left[x_{n_{k+1}},2^{-k}\right]$.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как $x$. Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности $\{x_{n_{k}}\}$. Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство $R$ является полным.

Теорема 3 (Бэр). Полное метрическое пространство $R$ не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство проведём от противного.

Пусть

$R=\bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}$,

причём каждое из множеств $M_{n}$ нигде не плотно. Рассмотрим некоторый замкнутый шар $B_{0}$ радиуса 1, так как множество $M_{1}$ нигде не плотно, то оно не плотно и в шаре $B_{0}$, то есть существует шар $B_{1}\subset B_{0}$, радиус которого меньше $1/2$, такой, что

$B_{1}\cap M_{1}=\varnothing$.

Множество $M_{2}$ не плотно в шаре $B_{1}$, значит существует шар $B_{2}\subset B_{1}$, радиус которого меньше $1/3$, для которого

$B_{2}\cap M_{2}=\varnothing$,

и так далее. Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров

$\{B_{n}\}$,

радиусы которых стремятся к нулю, причём

$B_{n}\cap M_{n}=\varnothing$.

По теореме о вложенных шарах пересечение

$B=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}$

содержит некоторую точку $x\in R$, которая не принадлежит ни одному из $M_{n}$, так как

$\forall n:B_{n}\cap M_{n}=\varnothing$,

а значит точка $x$ не принадлежит и объединению всех $M_{n}$

$x\notin \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}$,

то есть

$R\neq \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}$,

что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

Пополнение метрического пространства

Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространствах не все фундаментальные последовательности имеют предел. Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным. Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.

Напомним, что множество

$A\subset M$

называется всюду плотным в M, если имеет место равенство

$\left[A\right]=M$.

Например, множество рациональных чисел $\mathbb {Q}$ является плотным в множестве всех действительных чисел $\mathbb {R}$, так как

$[\mathbb {Q} ]=\mathbb {R}$.

Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и $X\subset M$. (M, ρ) называется пополнением метрического пространства (X, ρ), если

$\left[X\right]=M$.

Например, $(\mathbb {R} ,\rho )$ — пополнение метрического пространства $(\mathbb {Q} ,\rho )$.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 4. Любое метрическое пространство $R$ имеет пополнение, причём единственно с точностью до изометрии.

Существование.

Назовём две фундаментальные последовательности $\{x_{n}\}$ и $\{y_{n}\}$ элементов пространства $R$ эквивалентными, если

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})=0$.

Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:

$~\{x_{n}\}\sim \{y_{n}\}$.

Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Таким образом, все фундаментальные последовательности точек метрического пространства $R$ распадаются на классы эквивалентных друг другу последовательностей.

Рассмотрим пространство $R'$, элементами которого являются классы эквивалентных последовательностей. Метрика в нём может быть определена следующим образом. Пусть $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ — два класса эквивалентности. Выберем в каждом из них по одной фундаментальной последовательности

$\{x_{n}\}\in \eta _{1},~\{y_{n}\}\in \eta _{2}$

и положим

$\rho '(\eta _{1},\eta _{2})=\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})$.

Для того, чтобы функцию $\rho '$ можно было считать метрикой в пространстве $R'$, нужно доказать, что данный предел существует и не зависит от выбора последовательностей, кроме того, должны выполняться аксиомы метрики.

В силу неравенства четырёхугольника:

$|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (x_{m},y_{m})|\leq \rho (x_{n},x_{m})+\rho (y_{n},y_{m})$.

Так как последовательности $\{x_{n}\}$ и $\{y_{n}\}$ являются фундаментальными, то можно указать такое натуральное число $n_{0}$, что при $n,m>n_{0}$ выполняется неравенство

$|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (x_{m},y_{m})|\leq \epsilon$.

Таким образом, последовательность вещественных чисел $\rho (x_{n},y_{n})$ имеет предел в силу критерия Коши. Докажем, что данный предел не зависит от выбора последовательностей. Пусть

$\{x_{n}\},\{x'_{n}\}\in \eta _{1}$

$\{y_{n}\},\{y'_{n}\}\in \eta _{2}$.

По неравенству четырёхугольника

$|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (x'_{n},y'_{n})|\leq \rho (x_{n},x'_{n})+\rho (y_{n},y'_{n})$.

А так как

$~\{x_{n}\}\sim \{x'_{n}\},~\{y_{n}\}\sim \{y'_{n}\}$,

то по введённому определению эквивалентности

$\lim _{n\to \infty }|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (x'_{n},y'_{n})|\leq \lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},x'_{n})+\lim _{n\to \infty }\rho (y_{n},y'_{n})=0$,

то есть

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})=\lim _{n\to \infty }\rho (x'_{n},y'_{n})$.

Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.

Проверим теперь, выполняются ли аксиомы метрики для функции $\rho '$. Аксиомы тождества и симметрии следуют непосредственно из введённого определения эквивалентности.

Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности

$\eta _{1},~\eta _{2},~\eta _{3}\in R'$.

Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности

$\{x_{n}\}\in \eta _{1},\{y_{n}\}\in \eta _{2},\{z_{n}\}\in \eta _{3}$.

Так как исходное пространство $R$ является метрическим, то

$\rho (x_{n},y_{n})\leq \rho (x_{n},z_{n})+\rho (z_{n},y_{n})$.

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})\leq \lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},z_{n})+\lim _{n\to \infty }\rho (z_{n},y_{n})$,

то есть, по определению функции $\rho '$:

$\rho '(\eta _{1},\eta _{2})\leq \rho '(\eta _{1},\eta _{3})+\rho '(\eta _{3},\eta _{2})$.

Теперь докажем, что $R$ можно рассматривать как подпространство пространства $R'$. Каждой точке $x\in R$ можно поставить в соответствие класс эквивалентности

$\eta (x)\in R'$, представляющий собой множество последовательностей, сходящихся к точке $x$.

Данный класс содержит по меньшей мере один элемент — стационарную последовательность, все элементы которой равны $x$. Если

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n},~y=\lim _{n\to \infty }y_{n}$,

то по определению $\rho '$ и в силу непрерывности метрики

$\rho '(\eta (x),\eta (y))=\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})=\rho (x,y)$,

таким образом, существует изометрическое отображение элементов пространства $R$ в $R'$. Так как с точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства не различаются, то можно не различать пространство $R$ и его образ в $R'$.

Докажем, что $R$ всюду плотно в $R'$. Пусть дана произвольная точка $\eta \in R'$ и вещественное число $\epsilon >0$. Выберем произвольную фундаментальную последовательность

$\{x_{n}\}\in \eta$.

Можно указать такой номер $n_{0}$, что при $n,n>n_{0}$ будет выполняться неравенство

$\rho (x_{n},x_{m})<\epsilon$.

Тогда при $n>n_{0}$ будем иметь

$\rho '(\eta (x_{n}),\eta )=\lim _{m\to \infty }\rho (x_{n},x_{m})\leq \epsilon$.

Таким образом в любой окрестности произвольной точки $\eta \in R'$ содержится точка из $R$, то есть

$\left[R\right]=R'$.

Докажем наконец, что пространство $R'$ является полным. По построению, любая последовательность точек $\{x_{n}\}$ сходится к некоторой точке пространства $R'$. Пусть дана последовательность $\{\eta _{n}\}$ точек пространства $R'$. Из точек пространства $R$ можно построить последовательность эквивалентных, для этого достаточно в качестве $x_{n}$ взять такую точку, чтобы выполнялось неравенство

$\rho '(\eta (x_{n}),\eta _{n})<{\frac {1}{n}}$.

Построенная таким образом последовательность будет фундаментальной в $R$, а значит будет сходится к некоторому классу $\eta \in R'$, а так как последовательности $\{\eta (x_{n})\}$ и $\{eta_{n}\}$ эквивалентны, то они сходятся к одному пределу.

Единственность.

Пусть $R_{1}$ и $R_{2}$ — два пополнения пространства $R$, покажем, чтото между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие

$\phi \colon R_{1}\to R_{2}$

такое, что

$\forall x\in R\Rightarrow \rho (x)=x$,

$\forall x,y\in R_{1}\Rightarrow \rho _{1}(x,y)=\rho _{2}(\phi (x),\phi (y))$,

где $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ — метрики пространств $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно.

Выберем произвольную точку $x'\in R_{1}$. Так как по предположению $R_{1}$ — пополнение пространства $R$, то существует фундаментальная последовательность $\{x_{n}\}$, сходящаяся к точке $x'$. Но так как $R_{2}$ тоже является пополнением $R$, то данная последовательность сходится к некоторой точке $x''\in R_{2}$. Можно доказать, что $x''$ не зависит от выбора последовательности. Если положить

$\phi (x')=x''$,

то получим искомое отображение. Действительно, если $x'\in R$, то $x''\in R$. Кроме того, если в пространстве $R_{1}$

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x',~\lim _{n\to \infty }y_{n}=y'$,

а в пространстве $R_{2}$

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x'',~\lim _{n\to \infty }y_{n}=y''$,

то в силу непрерывности метрики

$\rho _{1}(x',y')=\lim _{n\to \infty }\rho _{1}(x_{n},y_{n})=\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})$,

$\rho _{2}(x'',y'')=\lim _{n\to \infty }\rho _{2}(x_{n},y_{n})=\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})$,

а следовательно

$\rho _{1}(x',y')=\rho _{2}(x'',y'')$.

Теорема доказана.