править
Рассмотрим отображение A n-мерного арифметического эвклидова пространства в себя
y
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
j
+
b
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+b_{i},~i=1,...,n}
Если данное отображение является сжатием, то для решения уравнения
A
x
=
x
{\displaystyle Ax=x}
ρ
(
x
,
y
)
=
max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
−
y
i
|
{\displaystyle \rho (x,y)=\max _{1\leq i\leq n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}
ρ
(
y
,
y
′
)
=
max
1
≤
i
≤
n
|
y
i
−
y
i
′
|
=
max
1
≤
i
≤
n
|
∑
j
=
1
n
a
i
j
(
x
j
−
x
j
′
)
|
{\displaystyle \rho (y,y')=\max _{1\leq i\leq n}\left|y_{i}-y'_{i}\right|=\max _{1\leq i\leq n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(x_{j}-x'_{j}\right)\right|}
Применив аксиому треугольника для модуля, получим:
ρ
(
y
,
y
′
)
≤
max
1
≤
i
≤
n
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
|
x
j
−
x
j
′
|
{\displaystyle \rho (y,y')\leq \max _{1\leq i\leq n}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\left|x_{j}-x'_{j}\right|}
Так как
|
x
j
−
x
j
′
|
≤
max
1
≤
i
≤
n
|
x
j
−
x
j
′
|
=
ρ
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle \left|x_{j}-x'_{j}\right|\leq \max _{1\leq i\leq n}\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\rho (x,x')}
то
ρ
(
y
,
y
′
)
≤
(
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
)
ρ
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle \rho (y,y')\leq \left(\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x')}
Отсюда следует условие сжимаемости:
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
≤
α
<
1
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \alpha <1,~i=1,...,n}
Пусть теперь метрика задана следующим образом:
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
{\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}
тогда
ρ
(
y
,
y
′
)
=
∑
i
=
1
n
|
y
i
−
y
i
′
|
=
∑
i
=
1
n
|
∑
j
=
1
n
a
i
j
(
x
j
−
x
j
′
)
|
{\displaystyle \rho (y,y')=\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-y'_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{j}-x'_{j})\right|}
Применим необходимое число раз аксиому треугольника:
ρ
(
y
,
y
′
)
≤
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
|
x
j
−
x
j
′
|
=
∑
j
=
1
n
(
|
x
j
−
x
j
′
|
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
)
{\displaystyle \rho (y,y')\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\sum _{j=1}^{n}\left(\left|x_{j}-x'_{j}\right|\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)}
Так как
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
≤
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|}
то
ρ
(
y
,
y
′
)
≤
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
∑
j
=
1
n
|
x
j
−
x
j
′
|
=
(
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
)
ρ
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle \rho (y,y')\leq \max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\sum _{j=1}^{n}\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\left(\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x')}
Таким образом, в данном случае, условие сжимаемости имеет вид:
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
n
|
a
i
j
|
≤
α
<
1
{\displaystyle \max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \alpha <1}
В данном случае метрика задаётся формулой
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}
В силу неравенства Коши-Буняковского :
ρ
2
(
y
,
y
′
)
=
∑
i
=
1
n
(
∑
j
=
1
n
a
i
j
(
x
j
−
x
j
′
)
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
2
)
ρ
2
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle \rho ^{2}(y,y')=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{j}-x'_{j})\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}\right)\rho ^{2}(x,x')}
Следовательно, в данной метрике, условие сжимаемости принимает вид:
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
2
≤
α
<
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}\leq \alpha <1}
править
править
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение
d
y
d
x
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}
и задано начальное условие
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle ~y(x_{0})=y_{0}}
причём функция
f
{\displaystyle f}
G
{\displaystyle G}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
y
{\displaystyle y}
|
f
(
x
,
y
1
)
−
f
(
x
,
y
2
)
|
≤
M
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle \left|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})\right|\leq M\left|y_{1}-y_{2}\right|}
Задача решения дифференциального уравнения с начальным условием (задача Коши) эквивалентна задаче решения интегрального уравнения
φ
(
x
)
=
y
0
+
∫
x
0
x
f
(
t
,
φ
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \varphi (x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f\left(t,\varphi (t)\right)dt}
Так как функция
f
{\displaystyle f}
G
′
⊆
G
,
(
x
0
,
y
0
)
∈
G
′
{\displaystyle G'\subseteq G,~(x_{0},y_{0})\in G'}
|
f
(
x
,
y
)
|
≤
K
{\displaystyle \left|f(x,y)\right|\leq K}
Подберём
d
>
0
{\displaystyle d>0}
Если
|
x
−
x
0
|
≤
d
{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|\leq d}
|
y
−
y
0
|
≤
K
d
{\displaystyle \left|y-y_{0}\right|\leq Kd}
(
x
,
y
)
∈
G
′
{\displaystyle (x,y)\in G'}
M
d
<
1
{\displaystyle ~Md<1}
Обозначим пространство всех непрерывных функций
φ
{\displaystyle \varphi }
|
x
−
x
0
|
≤
d
{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|\leq d}
|
φ
(
x
)
−
y
0
|
≤
K
d
{\displaystyle \left|\varphi (x)-y_{0}\right|\leq Kd}
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
ρ
(
φ
1
,
φ
2
)
=
max
|
x
−
x
0
|
≤
d
|
φ
1
(
x
)
−
φ
2
(
x
)
|
{\displaystyle \rho (\varphi _{1},\varphi _{2})=\max _{|x-x_{0}|\leq d}\left|\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x)\right|}
Данное метрическое пространство полно, так как является замкнутым подпространством полного метрического пространства (пространства всех непрерывных функций, заданных на том же отрезке). Докажем, что отображение
ψ
=
A
φ
{\displaystyle \psi =A\varphi }
ψ
(
x
)
=
y
0
+
∫
x
0
x
f
(
t
,
φ
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \psi (x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,\varphi (t))dt}
переводит пространство
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
φ
∈
C
∗
{\displaystyle \varphi \in C^{*}}
|
x
−
x
0
|
≤
d
{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|\leq d}
|
ψ
(
x
)
−
y
0
|
=
|
∫
x
0
x
f
(
t
,
φ
(
t
)
)
d
t
|
≤
K
d
{\displaystyle \left|\psi (x)-y_{0}\right|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,\varphi (t))dt\right|\leq Kd}
а значит
A
(
C
∗
)
⊆
C
∗
{\displaystyle A(C^{*})\subseteq C^{*}}
|
ψ
1
−
ψ
2
|
≤
∫
x
0
x
|
f
(
t
,
φ
1
(
t
)
)
−
f
(
t
,
φ
2
(
t
)
)
|
d
t
≤
M
d
max
|
x
−
x
0
|
≤
d
|
φ
1
(
x
)
−
φ
2
(
x
)
|
{\displaystyle \left|\psi _{1}-\psi _{2}\right|\leq \int \limits _{x_{0}}^{x}\left|f(t,\varphi _{1}(t))-f(t,\varphi _{2}(t))\right|dt\leq Md\max _{|x-x_{0}|\leq d}\left|\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x)\right|}
Так как
M
d
<
1
{\displaystyle Md<1}
A
{\displaystyle A}
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
править
править
Уравнение Фредгольма второго рода — это интегральное уравнение вида
x
(
t
)
=
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
)
x
(
s
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x(s)\,\mathrm {d} s+f(t)}
Функции
K
(
t
,
s
)
{\displaystyle K(t,s)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
λ
{\displaystyle \lambda }
x
{\displaystyle x}
Будем считать, что функции
K
(
t
,
s
)
{\displaystyle K(t,s)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
a
≤
t
≤
b
,
a
≤
s
≤
b
{\displaystyle a\leq t\leq b,~a\leq s\leq b}
Кроме того, существует такое число
M
{\displaystyle M}
|
K
(
t
,
s
)
|
≤
M
{\displaystyle |K(t,s)|\leq M}
Рассмотрим отображение
y
=
A
x
{\displaystyle y=Ax}
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle C[a;b]}
y
(
t
)
=
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
)
x
(
s
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle y(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x(s)\,\mathrm {d} s+f(t)}
Определим, при каких условиях данное отображение является сжимающим в равномерной метрике
ρ
(
x
1
,
x
2
)
=
max
t
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
t
)
−
x
2
(
t
)
|
{\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=\max _{t\in [a;b]}|x_{1}(t)-x_{2}(t)|}
Рассмотрим две функции
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
ρ
(
y
1
,
y
2
)
=
ρ
(
A
x
1
,
A
x
2
)
=
max
t
∈
[
a
;
b
]
|
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
)
[
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
]
d
s
|
{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})=\rho (Ax_{1},Ax_{2})=\max _{t\in [a;b]}\left|\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}\,\mathrm {d} s\right|}
По свойствам интеграла:
ρ
(
y
1
,
y
2
)
≤
|
λ
|
(
b
−
a
)
max
t
∈
[
a
;
b
]
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
K
(
t
,
s
)
[
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
]
|
{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)\max _{t\in [a;b]}\max _{s\in [a;b]}{\Big |}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}{\Big |}}
Так как ядро ограничено числом
M
{\displaystyle M}
ρ
(
y
1
,
y
2
)
≤
|
λ
|
(
b
−
a
)
M
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
=
|
λ
|
(
b
−
a
)
M
ρ
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-x_{2}(s)|=|\lambda |(b-a)M\rho (x_{1},x_{2})}
Таким образом, отображение
A
{\displaystyle A}
|
λ
|
≤
1
(
b
−
a
)
M
{\displaystyle |\lambda |\leq {\frac {1}{(b-a)M}}}
а значит, что при выполнении данного условия последовательность
x
n
+
1
(
t
)
=
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
)
x
n
(
s
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle x_{n+1}(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x_{n}(s)\,\mathrm {d} s+f(t)}
будет сходится к решению уравнения.
В качестве начального приближения можно взять произвольную непрерывную функцию
x
0
(
t
)
{\displaystyle x_{0}(t)}
править
Рассмотрим уравнение вида
x
(
t
)
=
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
,
x
(
s
)
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K{\big (}t,s,x(s){\big )}\,\mathrm {d} s+f(t)}
где функции
K
{\displaystyle K}
f
{\displaystyle f}
|
K
(
t
,
s
,
y
1
)
−
K
(
t
,
s
,
y
2
)
|
≤
M
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle |K(t,s,y_{1})-K(t,s,y_{2})|\leq M|y_{1}-y_{2}|}
Рассмотрим отображение
A
{\displaystyle A}
A
x
=
λ
∫
a
b
K
(
t
,
s
,
x
(
s
)
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle Ax=\lambda \int \limits _{a}^{b}K{\big (}t,s,x(s){\big )}\,\mathrm {d} s+f(t)}
Если
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
y
1
=
A
x
1
,
y
2
=
A
x
2
{\displaystyle y_{1}=Ax_{1},~y_{2}=Ax_{2}}
то справедлива оценка
|
y
1
(
t
)
−
y
2
(
t
)
|
≤
|
λ
|
(
b
−
a
)
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
K
(
t
,
s
,
x
1
(
s
)
)
−
K
(
t
,
s
,
x
2
(
s
)
)
|
≤
|
λ
|
(
b
−
a
)
M
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
s
)
−
y
2
(
s
)
|
{\displaystyle |y_{1}(t)-y_{2}(t)|\leq |\lambda |(b-a)\max _{s\in [a;b]}\left|K{\big (}t,s,x_{1}(s){\big )}-K{\big (}t,s,x_{2}(s){\big )}\right|\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-y_{2}(s)|}
таким образом
ρ
(
A
x
1
,
A
x
2
)
≤
|
λ
|
(
b
−
a
)
M
ρ
(
A
x
1
,
A
x
2
)
{\displaystyle \rho (Ax_{1},Ax_{2})\leq |\lambda |(b-a)M\rho (Ax_{1},Ax_{2})}
а значит метод последовательных приближений применим при
|
λ
|
<
1
(
b
−
a
)
M
{\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{(b-a)M}}}
Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра
x
(
t
)
=
λ
∫
t
b
K
(
t
,
s
)
f
(
s
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\lambda \int \limits _{t}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s+f(t)}
Оказывается, что в данном случае, в отличие от случая уравнения Фредгольма, метод последовательных приближений можно использовать при любых значениях параметра
λ
{\displaystyle \lambda }
Как и при рассмотрении линейного уравнению Фредгольма, будем считать, что функции
K
(
t
,
s
)
{\displaystyle K(t,s)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
a
≤
t
≤
b
,
a
≤
s
≤
b
{\displaystyle a\leq t\leq b,~a\leq s\leq b}
а
K
(
t
,
s
)
{\displaystyle K(t,s)}
M
{\displaystyle M}
|
K
(
t
,
s
)
|
≤
M
{\displaystyle |K(t,s)|\leq M}
Рассмотрим отображение
A
{\displaystyle A}
y
=
A
x
=
λ
∫
t
b
K
(
t
,
s
)
f
(
s
)
d
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle y=Ax=\lambda \int \limits _{t}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s+f(t)}
Введём обозначение
g
0
=
A
(
x
1
−
x
2
)
=
A
x
1
−
A
x
2
{\displaystyle ~g_{0}=A(x_{1}-x_{2})=Ax_{1}-Ax_{2}}
и рассмотрим последовательность
g
n
+
1
=
A
g
n
{\displaystyle ~g_{n+1}=Ag_{n}}
Рассуждая так же как в случае уравнения Фредгольма, получим оценку:
|
g
1
(
t
)
|
≤
|
λ
|
M
(
t
−
a
)
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
{\displaystyle |g_{1}(t)|\leq |\lambda |M(t-a)\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}
Из этой оценки следует
|
g
2
(
t
)
|
≤
|
λ
|
2
M
2
(
t
−
a
)
2
2
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
{\displaystyle |g_{2}(t)|\leq |\lambda |^{2}M^{2}{\frac {(t-a)^{2}}{2}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}
и вообще
|
g
n
(
t
)
|
≤
|
λ
|
n
M
n
(
t
−
a
)
n
n
!
max
s
∈
[
a
;
b
]
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
{\displaystyle |g_{n}(t)|\leq |\lambda |^{n}M^{n}{\frac {(t-a)^{n}}{n!}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}
Для любого значения параметра
λ
{\displaystyle \lambda }
n
0
{\displaystyle n_{0}}
|
λ
|
n
0
M
n
(
b
−
a
)
n
0
n
0
!
{\displaystyle |\lambda |^{n_{0}}M^{n}{\frac {(b-a)^{n_{0}}}{n_{0}!}}}
и, так как
a
≤
t
≤
b
{\displaystyle a\leq t\leq b}
B
=
A
n
0
{\displaystyle B=A^{n_{0}}}
Возьмём некоторую непрерывную функцию
x
0
(
t
)
{\displaystyle x_{0}(t)}
{
A
n
x
0
}
{\displaystyle ~\{A^{n}x_{0}\}}
Рассмотрим подпоследовательность этой последовательности
{
A
k
n
0
x
0
}
{\displaystyle ~\{A^{kn_{0}}x_{0}\}}
так как
A
k
n
0
x
0
=
B
k
x
0
{\displaystyle A^{kn_{0}}x_{0}=B^{k}x_{0}}
{
A
n
x
0
}
{\displaystyle ~\{A^{n}x_{0}\}}
![{\displaystyle [a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
![{\displaystyle C[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825924f0a63d572497fe4680892385de7e9d4c9f)
![{\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=\max _{t\in [a;b]}|x_{1}(t)-x_{2}(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7820b7ab336bb443b4e34f600517601b86bfd992)
![{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})=\rho (Ax_{1},Ax_{2})=\max _{t\in [a;b]}\left|\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}\,\mathrm {d} s\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac69acec38fb526c19275439cd47f333a3a7cef)
![{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)\max _{t\in [a;b]}\max _{s\in [a;b]}{\Big |}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}{\Big |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0036724096e656c60766b141537f033d9026970)
![{\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-x_{2}(s)|=|\lambda |(b-a)M\rho (x_{1},x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e117567b3fbfe2655412f0846c383cf02e86f7a)
![{\displaystyle |y_{1}(t)-y_{2}(t)|\leq |\lambda |(b-a)\max _{s\in [a;b]}\left|K{\big (}t,s,x_{1}(s){\big )}-K{\big (}t,s,x_{2}(s){\big )}\right|\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-y_{2}(s)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ef8078928402c7b81685e8f36e6266ce03270d)
![{\displaystyle |g_{1}(t)|\leq |\lambda |M(t-a)\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1660c900eeb2330d46521c32d66af0d2a71fe5)
![{\displaystyle |g_{2}(t)|\leq |\lambda |^{2}M^{2}{\frac {(t-a)^{2}}{2}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5d71a1d9997b55ae0455166172ab9923c10ed0)
![{\displaystyle |g_{n}(t)|\leq |\lambda |^{n}M^{n}{\frac {(t-a)^{n}}{n!}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22f42c750b28694f0ee7e201fc385fffaa86057)
