Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Непрерывная функция мало меняется при малом изменении аргумента. Легко понять, что это важнейшее для приложений математики свойство. Допустим, что зависимость какого-то технического устройства от характеристик его составных частей не является непрерывной. Это означало бы, что малейшая погрешность при изготовлении детали может привести к полной неработоспособности всего устройства.

Для отображений произвольных метрических пространств также можно ввести понятие непрерывности.

Непрерывность в точке

Пусть даны два метрические пространства R = (X, ρ_X) и R' = (Y, ρ_Y), подмножество $A\subset X$ и отображение $f\colon A\to Y$.

Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из математического анализа.

Определение 1.  Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$, если для любого вещественно числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что для любой точки $x\in A$ из неравенства

$~\rho _{X}(x,a)<\delta$

следует неравенство

$~\rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$.

Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств).

Определение 2 (по Коши).  Отображение f называется непрерывным в точке $a$, если для любого вещественно числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что из

$x\in A\cap B(a,\delta )$

следует

$f(x)\in B(f(a),\epsilon )$.

Определение 3 (по Гейне).  Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$, если для любой последовательности $\{x_{n}\}$ точек множества $A$ сходящейся к точке $a\in A$:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$,

имеет место равенство

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)$.

Можно доказать, что все три эти определения эквивалентны.

Эквивалентность определений непрерывности

Рассмотрим определение непрерывного отображения по Коши. Если

$x\in A\cap B(a,\delta )$,

то по определению пересечения множества

$x\in A,~x\in B(a,\delta )$,

по определению открытого шара в этом случае

$\rho _{X}(x,a)<\delta$.

Аналогично

$f(x)\in B(f(a),\epsilon )\Leftrightarrow \rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$.

Таким образом, определение по Коши эквивалентно определению 1.

Теперь рассмотрим определение по Гейне. Если последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к $a\in A$, то для любого вещественного числа $\delta >0$ существует такой номер $n_{\delta }>0$, что

$n>n_{\delta }\Rightarrow \rho _{X}(x_{n},a)<\delta$.

Аналогично, если

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)$,

то для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такой номер $n_{\epsilon }>0$, что

$n>n_{\epsilon }\Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{n}),f(a))<\epsilon$.

Если выбрать из $n_{\epsilon }$ и $n_{\delta }$ наибольшее

$n_{0}=\max(n_{\epsilon },n_{\delta })$,

то при $n>n_{0}$ будут выполняться оба условия. Последовательность $\{x_{n}\}$ можно взять произвольно, значит для любого $x\in A$ такого, что

$~\rho _{X}(x,a)<\delta$

будет выполняться неравенство

$~\rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$.

Непрерывность и равномерная непрерывность на множестве

Отображение f называется непрерывным на множестве A, если оно непрерывно в каждой точке этого множества, то есть

$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)\quad \rho _{X}(x,a)<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$

Отображение f называется равномерно-непрерывным на множестве A, если

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in A)\quad \rho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$.

Теорема 1. Если отображение f равномерно-непрерывно на множестве A, то оно и непрерывно на этом множестве.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, покажем, что равномерно-непрерывное отображение f непрерывно для любого элемента из A. Возьмём произвольный элемент $a\in A$, зафиксируем его и положим x₂=a в определении равномерно-непрерывного отображения:

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1}\in A)\quad \rho _{X}(x_{1},a)<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{1}),f(a))<\epsilon$,

а это обозначает, что отображение непрерывно в $a$, а так как элемент $a$ был выбран произвольно, то f — непрерывно на всём множестве A.

Изометрические пространства

Если отображение $f:X\to Y$ взаимно-однозначно, то существует обратное отображение $f^{-1}:Y\to X$. Если отображение f — взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно (то есть непрерывно как f, так и $f^{-1}$), то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а пространства (X, ρ_X) и (Y, ρ_Y), между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой.

Взаимно-однозначное отображение

$f\colon R\to R'$

называется изометрией, если для любых двух точек $\forall x_{1},x_{2}\in R$ имеет место равенство

$~\rho _{X}(x_{1},x_{2})=\rho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))$,

то есть если это отображение сохраняет значение метрики. Пространства R и R', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными.

Изометрия пространств означает, что с точки зрения теории метрических пространств эти пространства можно рассматривать просто как тождественные.

Дополнения

Аналогичным образом можно ввести понятие непрерывной функции от нескольких переменных $x_{1}\in X_{1},...,x_{n}\in X_{n}$, где $~X_{1},...,X_{2}$ — метрические пространства, со значениями в метрическом пространстве (Y, ρ_Y).

Замечание. Сама метрика является непрерывным отображением от двух переменных на множество действительных чисел. Это следует из свойства 4 сходящихся последовательностей.