В основе математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности и операция предельного перехода.
Достаточно сказать, что производная и определённый интеграл определяются через понятие предела.
При определении предела используется тот факт, что на числовой прямой определено расстояние между вещественными числами .
Но оказывается, что для формулировки многих фундаментальных понятий и доказательства различных теорем анализа важна не природа действительных чисел, а только само понятие расстояния.
Обобщением представления о расстоянии между действительными числами на случай произвольного множества является понятие метрики, которое мы сейчас введём.
править
Пусть M — некоторое непустое множество , ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:
ρ
:
M
×
M
→
R
{\displaystyle \rho \colon M\times M\to \mathbb {R} }
отображение ρ называется метрикой , если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):
Аксиома тождества:
ρ
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle ~\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y}
Аксиома симметрии:
ρ
(
x
,
y
)
=
ρ
(
y
,
x
)
{\displaystyle ~\rho (x,y)=\rho (y,x)}
Аксиома треугольника :
ρ
(
x
,
y
)
≤
ρ
(
x
,
z
)
+
ρ
(
z
,
y
)
{\displaystyle ~\rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)}
Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M ,ρ ).
Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М .
Элементы метрического пространства обычно называют точками .
Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая.
Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ (x , y )=|х — у | является метрическим пространством.
Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }
Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля :
|
x
−
y
|
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle ~|x-y|=0\Leftrightarrow x=y}
|
x
−
y
|
=
|
−
(
y
−
x
)
|
=
|
−
1
|
⋅
|
y
−
x
|
=
|
y
−
x
|
{\displaystyle ~|x-y|=|-(y-x)|=|-1|\cdot |y-x|=|y-x|}
|
x
−
y
|
=
|
x
−
z
+
z
−
y
|
≤
|
x
−
z
|
+
|
z
−
y
|
{\displaystyle ~|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|}
Пусть (M , ρ ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M , тогда (A , ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называется подпространством метрического пространства (M ,ρ ).
Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:
Q
⊂
R
{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }
а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику
ρ
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
{\displaystyle \rho (x,y)=|x-y|}
то
(
Q
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,\rho )}
будет метрическим пространством.
В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство.
Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемую дискретную метрику :
ρ
(
x
,
y
)
=
{
0
,
x
=
y
1
,
x
≠
y
{\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{cases}}}
то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек .
На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно.
Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.
Рассмотрим некоторые свойства метрики, которые могут быть выведены из её определения.
Свойство 1. Метрика является неотрицательной функцией:
ρ
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle \rho (x,y)\geq 0}
Доказательство:
По аксиоме тождества
∀
x
∈
M
:
ρ
(
x
,
x
)
=
0
{\displaystyle ~\forall x\in M:\rho (x,x)=0}
С другой стороны, по аксиоме треугольника:
∀
y
∈
M
:
ρ
(
x
,
x
)
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
y
,
x
)
{\displaystyle ~\forall y\in M:\rho (x,x)\leq \rho (x,y)+\rho (y,x)}
В силу аксиомы симметрии:
ρ
(
x
,
y
)
=
ρ
(
y
,
x
)
{\displaystyle ~\rho (x,y)=\rho (y,x)}
поэтому
∀
y
∈
M
:
0
=
ρ
(
x
,
x
)
≤
2
ρ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \forall y\in M:0=\rho (x,x)\leq 2\rho (x,y)}
Откуда и получается, что
ρ
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle \rho (x,y)\geq 0}
Свойство 2 (Неравенство многоугольника). Для любой конечной системы элементов
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
множества M имеет место неравенство
ρ
(
x
1
,
x
n
)
≤
ρ
(
x
1
,
x
2
)
+
.
.
.
+
ρ
(
x
n
−
1
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
−
1
ρ
(
x
i
,
x
i
+
1
)
{\displaystyle \rho (x_{1},x_{n})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{n-1},x_{n})=\sum _{i=1}^{n-1}\rho (x_{i},x_{i+1})}
Доказательство проводится с помощью метода математической индукции , база индукции — аксиома треугольника.
Предположим, утверждение верно для некоторого целого числа
m
{\displaystyle m}
m
+
1
{\displaystyle m+1}
ρ
(
x
1
,
x
m
+
1
)
≤
ρ
(
x
1
,
x
m
)
+
ρ
(
x
m
,
x
m
+
1
)
{\displaystyle \rho (x_{1},x_{m+1})\leq \rho (x_{1},x_{m})+\rho (x_{m},x_{m+1})}
Но по предположению:
ρ
(
x
1
,
x
m
)
≤
ρ
(
x
1
,
x
2
)
+
.
.
.
+
ρ
(
x
m
−
1
,
x
m
)
{\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})}
следовательно:
ρ
(
x
1
,
x
m
+
1
)
≤
ρ
(
x
1
,
x
2
)
+
.
.
.
+
ρ
(
x
m
−
1
,
x
m
)
+
ρ
(
x
m
,
x
m
+
1
)
{\displaystyle \rho (x_{1},x_{m+1})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})+\rho (x_{m},x_{m+1})}
Таким образом утверждение доказано для всех целых чисел
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Свойство 3 (Неравенство четырёхугольника). Для любых четырёх элементов
x
,
y
,
z
,
u
∈
M
{\displaystyle x,y,z,u\in M}
имеет место неравенство
|
ρ
(
x
,
z
)
−
ρ
(
y
,
u
)
|
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
z
,
u
)
{\displaystyle |\rho (x,z)-\rho (y,u)|\leq \rho (x,y)+\rho (z,u)}
Доказательство основано на применении неравенства многоугольника для
n
=
4
{\displaystyle n=4}
ρ
(
x
,
z
)
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
y
,
u
)
+
ρ
(
u
,
z
)
⇒
ρ
(
x
,
z
)
−
ρ
(
y
,
u
)
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
u
,
z
)
{\displaystyle \rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)\Rightarrow \rho (x,z)-\rho (y,u)\leq \rho (x,y)+\rho (u,z)}
ρ
(
y
,
u
)
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
x
,
z
)
+
ρ
(
u
,
z
)
⇒
ρ
(
y
,
u
)
−
ρ
(
x
,
z
)
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
u
,
z
)
{\displaystyle \rho (y,u)\leq \rho (x,y)+\rho (x,z)+\rho (u,z)\Rightarrow \rho (y,u)-\rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (u,z)}
Сравнивая два эти неравенства, получим
|
ρ
(
x
,
z
)
−
ρ
(
y
,
u
)
|
≤
ρ
(
x
,
y
)
+
ρ
(
z
,
u
)
{\displaystyle \left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leq \rho (x,y)+\rho (z,u)}
Свойство 3а (Второе неравенство треугольника). Для любых трёх элементов
x
,
y
,
z
∈
M
{\displaystyle x,y,z\in M}
имеет место неравенство
|
ρ
(
x
,
z
)
−
ρ
(
z
,
y
)
|
≤
ρ
(
x
,
y
)
{\displaystyle |\rho (x,z)-\rho (z,y)|\leq \rho (x,y)}
Для доказательства нужно положить
u
=
z
{\displaystyle u=z}
Для проверки аксиомы треугольника для различных пространств полезны следующие леммы.
Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского):
Для любых двух конечных наборов вещественных чисел
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},...,a_{n})}
(
b
1
,
.
.
.
,
b
n
)
{\displaystyle (b_{1},...,b_{n})}
|
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
|
≤
∑
i
=
1
n
a
i
2
⋅
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}}
Доказательство.
Определим функцию вещественного переменного
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
F
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
(
a
i
t
+
b
i
)
2
≥
0
{\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}t+b_{i})^{2}\geq 0}
Применим формулу квадрата суммы:
F
(
t
)
=
t
2
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
2
t
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle F(t)=t^{2}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2t\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}
Пусть сначала все
a
i
{\displaystyle a_{i}}
∑
i
=
1
n
a
i
2
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=0}
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0}
Так как
0
≤
0
{\displaystyle 0\leq 0}
Теперь будем считать, что
∑
i
=
1
n
a
i
2
>
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}>0}
Поскольку
F
(
t
)
≥
0
{\displaystyle F(t)\geq 0}
как сумма квадратов, то дискриминант
D
{\displaystyle D}
t
{\displaystyle t}
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
D
=
4
(
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
)
2
−
4
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle D=4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-4\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}
то
(
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
)
2
−
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
≤
0
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\leq 0}
и следовательно
(
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
)
2
≤
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}
Лемма доказана.
Лемма 2 (неравенство Минковского):
Для любых двух конечных наборов вещественных чисел
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},...,a_{n})}
(
b
1
,
.
.
.
,
b
n
)
{\displaystyle (b_{1},...,b_{n})}
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
2
≤
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}}
Доказательство.
По формуле квадрата суммы и в силу неравенства Коши-Буняковского:
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
2
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
≤
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
2
∑
i
=
1
n
a
i
2
⋅
∑
i
=
1
n
b
i
2
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}
Правая часть этого неравенства может быть записана в виде квадрата суммы:
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
2
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}\right)^{2}}
Таким образом
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
+
∑
i
=
1
n
b
i
2
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}\leq \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}\right)^{2}}
Неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.
Лемма 3 (Интегральное неравенство Коши-Буняковского).
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
≤
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
⋅
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt\leq {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}}
Доказательство.
Если одна из функций равна нулю на всём
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
Рассмотрим неотрицательную функцию
F
(
λ
)
=
∫
a
b
[
f
(
t
)
λ
+
g
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle F(\lambda )=\int \limits _{a}^{b}[f(t)\lambda +g(t)]^{2}dt}
По свойствам интеграла и формуле квадрата суммы:
F
(
λ
)
=
λ
2
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
+
2
λ
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
+
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(\lambda )=\lambda ^{2}\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\lambda \int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}
Функция
F
(
λ
)
{\displaystyle F(\lambda )}
4
(
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
)
2
−
4
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
⋅
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
≤
0
{\displaystyle 4\left(\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt\right)^{2}-4\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt\cdot \int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt\leq 0}
откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 4 (Интегральное неравенство Минковского).
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
g
(
t
)
]
2
d
t
≤
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
+
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt}}\leq {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}}
Доказательство.
По свойствам интеграла:
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
g
(
t
)
]
2
d
t
=
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
+
2
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
+
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt=\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}
Воспользуемся интегральным неравенством Коши-Буняковского:
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
g
(
t
)
]
2
d
t
≤
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
+
2
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
⋅
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
+
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}
откуда следует
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
g
(
t
)
]
2
d
t
≤
(
∫
a
b
f
2
(
t
)
d
t
+
∫
a
b
g
2
(
t
)
d
t
)
2
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \left({\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}\right)^{2}}
Интегральное неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.
править
Мы уже рассмотрели два метрических пространства: множество вещественных чисел и множество рациональных чисел.
Ниже приведены ещё некоторые примеры метрических пространств, все они играют важную роль в математическом анализе и алгебре.
Проверка первых двух аксиом является, как правило, тривиальной задачей, основные трудности связаны с доказательством справедливости аксиомы треугольника.
править
Множество
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}
является метрическим пространством.
Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
=
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}
y
=
(
y
1
,
.
.
.
,
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{1},...,y_{n})}
z
=
(
z
1
,
.
.
.
,
z
n
)
{\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}
Тогда
ρ
(
x
,
y
)
=
0
⇔
∑
k
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
=
0
⇔
∀
i
=
1
,
n
¯
(
x
i
−
y
i
)
2
=
0
⇔
∀
i
=
1
,
n
¯
x
i
=
y
i
⇔
x
=
y
{\displaystyle \rho (x,y)=0\Leftrightarrow {\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}=0\Leftrightarrow \forall i={\overline {1,n}}\quad (x_{i}-y_{i})^{2}=0\Leftrightarrow \;\forall i={\overline {1,n}}\quad x_{i}=y_{i}\Leftrightarrow x=y}
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
k
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
=
∑
k
=
1
n
(
(
−
1
)
(
y
i
−
x
i
)
)
2
=
∑
k
=
1
n
(
y
i
−
x
i
)
2
=
ρ
(
y
,
x
)
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{\big (}(-1)(y_{i}-x_{i}){\big )}^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}=\rho (y,x)}
Перейдём к проверке третьей аксиомы.
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
z
i
+
z
i
−
y
i
)
2
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i})^{2}}}}
По неравенству Минковского (Лемма 2):
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
z
i
+
z
i
−
y
i
)
2
≤
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
z
i
)
2
+
∑
i
=
1
n
(
z
i
−
y
i
)
2
=
ρ
(
x
,
z
)
+
ρ
(
z
,
y
)
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^{2}}}=\rho (x,z)+\rho (z,y)}
то есть аксиома действительно выполняется.
Таким образом,
(
R
n
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho )}
Снова рассмотрим множество
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ρ
1
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
{\displaystyle \rho _{1}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}
Метрика такого вида называется метрикой Хэмминга .
Метрическое пространство
(
R
n
,
ρ
1
)
{\displaystyle (R^{n},\rho _{1})}
R
1
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{n}}
На множестве
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ρ
∞
(
x
,
y
)
=
max
1
≤
k
≤
n
|
x
k
−
y
k
|
{\displaystyle \rho _{\infty }(x,y)=\max _{1\leq k\leq n}|x_{k}-y_{k}|}
Пространство с данной метрикой обозначают
R
∞
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\infty }^{n}}
Таким образом, три рассмотренных примера показывают, что на основе одного и того же множество можно, задавая различные метрики, строить различные метрические пространства.
Множество комплексных чисел
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ρ
(
z
1
,
z
2
)
=
|
z
1
−
z
2
|
{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}
является метрическим пространством.
Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа.
Действительно, если
z
1
=
x
1
+
i
y
1
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}
|
z
1
−
z
2
|
=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
{\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}
таким образом, с точки зрения теории метрических пространств, множество комплексных чисел эквивалентно двумерному арифметическому евклидову пространству (геометрическая интерпретация комплексных чисел ).
Множество непрерывных на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle C[a;b]}
ρ
(
f
,
g
)
=
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|}
является метрическим пространством.
Если
f
=
g
{\displaystyle f=g}
ρ
(
f
,
g
)
=
0
{\displaystyle \rho (f,g)=0}
ρ
(
f
,
g
)
=
0
{\displaystyle \rho (f,g)=0}
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0}
так как
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0}
то функции
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Аксиома симметрии:
ρ
(
x
,
y
)
=
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
=
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
−
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
|
=
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
g
(
x
)
−
f
(
x
)
|
=
ρ
(
y
,
x
)
{\displaystyle \rho (x,y)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=\max _{x\in [a;b]}|-(f(x)-g(x))|=\max _{x\in [a;b]}|g(x)-f(x)|=\rho (y,x)}
Аксиома симметрии тоже выполняется.
Докажем теперь аксиому треугольника.
Для любых трёх функций
f
,
g
,
h
∈
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle f,g,h\in C[a;b]}
в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
=
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
+
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
≤
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
+
|
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)-g(x)|=|f(x)-h(x)+h(x)-g(x)|\leq |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|}
Возьмём максимальное значение левой и правой части:
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
{
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
+
|
g
(
x
)
−
h
(
x
)
|
}
{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}\left\{|f(x)-h(x)|+|g(x)-h(x)|\right\}}
Так как на отрезке
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
w
1
,
w
2
∈
C
[
a
;
b
]
{\displaystyle w_{1},w_{2}\in C[a;b]}
w
1
(
x
)
+
w
2
(
x
)
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
w
1
(
x
)
+
max
x
∈
[
a
;
b
]
w
2
(
x
)
{\displaystyle w_{1}(x)+w_{2}(x)\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)}
а следовательно
max
x
∈
[
a
;
b
]
{
w
1
(
x
)
+
w
2
(
x
)
}
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
w
1
(
x
)
+
max
x
∈
[
a
;
b
]
w
2
(
x
)
{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}\{w_{1}(x)+w_{2}(x)\}\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)}
то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.
Используем последнее неравенство, положив
w
1
(
x
)
=
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
,
w
2
(
x
)
=
|
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
{\displaystyle w_{1}(x)=|f(x)-h(x)|,~w_{2}(x)=|h(x)-g(x)|}
получим
max
x
∈
[
a
;
b
]
{
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
+
|
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
}
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
+
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}\{{|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|}\}\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|}
А значит:
ρ
(
f
,
g
)
=
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
≤
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
f
(
x
)
−
h
(
x
)
|
+
max
x
∈
[
a
;
b
]
|
h
(
x
)
−
g
(
x
)
|
=
ρ
(
f
,
h
)
+
ρ
(
h
,
g
)
{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|=\rho (f,h)+\rho (h,g)}
Все аксиомы действительно выполняются.
На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например
ρ
(
x
,
y
)
=
∫
a
b
[
x
(
t
)
−
y
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[x(t)-y(t)]^{2}dt}}}
полученное метрическое пространство обозначают
C
2
[
a
;
b
]
{\displaystyle C_{2}[a;b]}
править
Рассмотрим множество всевозможных числовых последовательностей вида
x
=
{
x
1
,
.
.
.
,
x
n
,
.
.
.
}
{\displaystyle x=\{x_{1},...,x_{n},...\}}
удовлетворяющих условию
∑
k
=
1
∞
x
k
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}<\infty }
Если на этом множестве ввести расстояние
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
k
=
1
∞
(
x
k
−
y
k
)
2
{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-y_{k})^{2}}}}
то получим метрическое пространство, которое обозначают
l
2
{\displaystyle l_{2}}
∑
k
=
1
∞
(
x
k
−
y
k
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-y_{k})^{2}}
сходится, если сходятся ряды
∑
k
=
1
∞
x
k
2
,
∑
k
=
1
∞
y
k
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2},~\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}^{2}}
а значит введённая метрика имеет смысл для любых последовательностей из
l
2
{\displaystyle l_{2}}
Доказательство аксиом тождества и симметрии не представляет труда, доказательство справедливости аксиомы треугольника для указанной метрики можно с помощью предельного перехода в неравенстве Минковского.
Приведённые примеры показывают, что понятия метрики и метрического пространства позволяют рассматривать с единых позиций такие непохожие на первый взгляд объекты, как вещественные и комплексные числа, вектора, непрерывные функции и числовые последовательности.
![{\displaystyle [a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
![{\displaystyle F(\lambda )=\int \limits _{a}^{b}[f(t)\lambda +g(t)]^{2}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51c3ceb4a7c12882fa4224959f57bc9414c435e)
![{\displaystyle {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt}}\leq {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9352dfd556591727936068aa248cf35af40b7)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt=\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c4857caed1359ea94da46b3de5026e859565b2)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ebd9eba225ebf7ad37112cbf62c1e74402d803)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \left({\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75b89b31cff7d61ca4fd9f0928e2be13de2e7fa)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle C[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825924f0a63d572497fe4680892385de7e9d4c9f)
![{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594b2b9d082955e804439ad9cdb01bf29ae59abc)
![{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99bbfa239fe09f2dbb6051238892a0e3c85fa5b)
![{\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d3710cee1343cbf3f7d94eb40196e91cfadc14)
![{\displaystyle \rho (x,y)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=\max _{x\in [a;b]}|-(f(x)-g(x))|=\max _{x\in [a;b]}|g(x)-f(x)|=\rho (y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f18334ddcf92b09d0e809bd58d414b35d350539)
![{\displaystyle f,g,h\in C[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383646f59aa81d72c2a48d30eeb87b0b3b1a2c6e)
![{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}\left\{|f(x)-h(x)|+|g(x)-h(x)|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1932147867a774e945fd3f70249b77dbc08f1)
![{\displaystyle w_{1},w_{2}\in C[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0fd1b6af378a986134ac3eeffc27cd59de7abb)
![{\displaystyle w_{1}(x)+w_{2}(x)\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e3a4be1056042c3084017a449795685f9a1b7f)
![{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}\{w_{1}(x)+w_{2}(x)\}\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4482a73a29d775a9531c78c89465ff231be7fb37)
![{\displaystyle \max _{x\in [a;b]}\{{|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|}\}\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2ecbaf29ec5940bab6e2474c02a879dcf45859)
![{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|=\rho (f,h)+\rho (h,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0384ae740c71cd5ec10562610bc328a0851650d8)
![{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[x(t)-y(t)]^{2}dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a885070def6d885718573f3ff6143f5fde3b57)
![{\displaystyle C_{2}[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499b0b1ef860c0c140be0c3bfb1cfdd7e892d8b4)
