Теория функций действительного переменного/Линейные пространства

Теория функций действительного переменного

Введение на некотором множестве метрики (то есть расстояния между элементами этого множества) позволяет ввести понятие сходимости — фундаментальное понятие математического анализа. В данном разделе мы рассмотрим такие множества, в которых можно ввести фундаментальные понятия алгебры: линейная комбинация, линейная зависимость, базис. Понятие линейной комбинации, в свою очередь, позволяет говорить о выпуклых множествах и телах — аналогах привычных понятий из геометрии.

Определение

Непустое множество $~L$ называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

Для любых двух элементов $x,y\in L$ однозначно определён элемент $z\in L$ , который называется суммой этих элементов и обозначается $~x+y$ , причём
1. Коммутативность: $~x+y=y+x$ ,
2. Ассоциативность: $~(x+y)+z=x+(y+z)$ ,
3. Существование нуля: существует такой элемент $0\in L$ , что $\forall x\in L:x+0=x$ ,
4. Существование противоположного элемента: для каждого $x\in L$ существует такой $~-x\in L$ , что $~x+(-x)=0$ .

Для любого числа $\alpha$ и любого элемента $x\in L$ определён элемент $\alpha x\in L$ (произведение элемента на число), причём
1. $~\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$ ,
2. $1\cdot x=x$ ,
3. $~(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$ ,
4. $~\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$ .

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства $~L_{1}$ и $~L_{2}$ называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

x_{1},y_{1}\in L_{1}

,

x_{2},y_{2}\in L_{2}

,

и установлены следующие взаимные соответствия

x_{1}\leftrightarrow x_{2},y_{1}\leftrightarrow y_{2}

,

то для любого числа $~\alpha$ должны выполняться соответствия

x_{1}+y_{1}\leftrightarrow x_{2}+y_{2}

,

\alpha x_{1}\leftrightarrow \alpha x_{2}

.

Примеры

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R2 = { x = x1·i + x2· j}: x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j, x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j, 0 = 0·i + 0· j, −x = (−x1)·i +(−x2)· j. Справедливость остальных аксиом линейного пространства следует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.

Линейная зависимость

Система элементов

~\{x_{1},...,x_{n}\}

линейного пространства $~L$ называется линейно зависимой, если существуют такие числа

~a_{1},...,a_{n}

,

не все равные нулю, что имеет место равенство

\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0

.

Если же это равенство возможно только при

~a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0

,

то система векторов называется линейно независимой. Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема является линейно независимой.

Если в линейном пространстве $L$ можно найти $n$ линейно независимых элементов, а любые $n+1$ элементов являются линейно-зависимыми, то говорят, что пространство $L$ имеет размерность $n$ . Если же в линейном пространстве можно выбрать любое конечное число линейно независимых элементов, то такое пространство называют бесконечномерным.

Базисом в n-мерном линейном пространстве называется любая система n линейно независимых элементов.

Конечномерные линейные пространства являются основным предметом изучения линейной алгебры, в анализе же, как правило, рассматриваются бесконечномерные линейные пространства.

Подпространства

Непустое подмножество $L'$ линейного пространства $L$ называется подпространством, если оно является пространством по отношению к операциям сложения и умножения на число, определённых в исходном пространстве $L$ . Другими словами, $L'$ является подпространством $L$ , если для любых чисел $\alpha$ и $\beta$ :

x,y\in L'\Rightarrow \alpha x+\beta y\in L'

.

Любое пространство можно считать своим подпространством. Кроме того, любое пространство содержит подпространство состоящее из одного — нулевого — элемента (так называемое нулевое подпространство). Подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Пересечение двух подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ линейного пространства $L$ также является подпространством этого пространства. Для доказательства, рассмотрим два произвольных вектора $x,y$ , принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа $a,b$ :

x,y\in L_{1}\cap L_{2}

.

По определению пересечения множеств:

x,y\in L_{1}

,

x,y\in L_{2}

.

Следовательно, по определению подпространства линейного пространства:

ax+by\in L_{1}

,

ax+by\in L_{2}

.

Так как вектор $ax+by$ принадлежит и множеству $L_{1}$ , и множеству $L_{2}$ , то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

x,y\in L_{1}\cap L_{2}\Rightarrow ax+by\in L_{1}\cap L_{2}

.

Утверждение доказано. По индукции можно доказать, что пересечение любого количества подпространств является подпространством.

Пусть $\{x_{n}\}$ — произвольное непустое множество элементов линейного пространства $L$ . Наименьшее подпространство пространства $L$ , содержащее $\{x_{n}\}$ называется линейной оболочкой множества $\{x_{n}\}$ и обозначается

L\left(\{x_{n}\}\right)

.

Покажем, что линейная оболочка множества существует. Рассмотрим систему всех подпространств, содержащих множество $\{x_{n}\}$ , эта система содержит по меньшей мере один элемент — всё пространство $L$ , и найдём пересечение всех таких подпространств. Так как пересечение любой системы подпространств снова есть подпространство, то полученное подпространство и будет наименьшим подпространством, содержащим $\{x_{n}\}$ .

Линейно-независимая система $\{x_{n}\}$ элементов линейного пространства $L$ называется базисом Гамеля, если её линейная оболочка совпадает со всем $L$ .

Фактор-пространства

Пусть $L$ — линейное пространство, а $L'$ — некоторое его подпространство. Введём следующее отношение эквивалентности: два элемента $x,y\in L$ отнесём к одному классу эквивалентности, если их разность принадлежит подпространству $L'$ , то есть

x\sim y\Leftrightarrow x-y\in L'

.

Легко проверить, что это отношение действительно удовлетворяет аксиомам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность:

~x-x=x+(-x)=0

,

так как любое подпространство содержит нулевой элемент, то любой элемент эквивалентен сам себе в указанном смысле.

Симметричность. Рассмотрим два вектора $x,y$ . Пусть

~z=x-y

,

тогда:

~y-x=(-1)(x-y)=-z

,

так как $L'$ — подпространство линейного пространства, то оно само является линейным пространством, а значит вместе с любым вектором содержит и обратный к нему.

Транзитивность. Рассмотрим три вектора $x,y,z$ . Пусть

x-y\in L'

,

y-z\in L'

,

тогда, по определению подпространства линейного пространства:

(x-y)+(y-z)\in L'

,

с другой стороны

~(x-y)+(y-z)=x-y+y-z=x-z

,

а значит

~x-z\in L'

.

Классы эквивалентности построенного отношения называются классами смежности(по подпространству $L'$ ). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством пространства $L$ по $L'$ и обозначается $L/L'$ .

В любом фактор-пространстве можно естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Рассмотрим два класса смежности : $\eta ,\xi \in L/L'$ . Выберем в каждом из этих классов по одному представителю

x\in \eta ,~y\in \xi

и назовём суммой этих классов тот класс, которому принадлежит элемент $x+y$ . Аналогичным образом определяется и произведение класса на число — класс, которому принадлежит произведение представителя на класса на то это число. Можно проверить, что определение сложения и умножения на число в фактор-пространстве не зависит от выбора представителей классов. Введённые таким образом операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства, а значит фактор-пространство линейного пространства само является линейным пространством, причём нулевым элементом фактор-пространства является подпространство $L'$

Упражнение 1. Докажите, что введённые операции действительно удовлетворяют аксиомам линейного пространства и не зависят от выбора представителей классов смежности.

Размерность фактор-пространства $L/L'$ называется коразмерностью подпространства $L'$ в пространстве $L$ .

Если коразмерность некоторого подпространства $L'\subset L$ есть конечное число $n$ , то в $L$ можно выбрать систему элементов $x_{1},...,x_{n}$ таких, что всякий элемент $x\in L$ будет иметь единственное представление вида

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+y

,

где $~a_{1},...,a_{n}$ — некоторые числа и $y\in L'$ .

Упражнение 2. Докажите это утверждение.

Упражнение 3. Докажите, что если размерность пространства $L$ равна $n$ , а размерность подпространства $L'$ равна $k$ , то размерность фактор-пространства равна $n-k$ .

Решения для упражнений

Упражнение 1.

Пусть $\eta _{1},\eta _{2}\in L/L'$ — два класса смежности.

Докажем, что сумма классов не зависит от выбора представителей. Возьмём в каждом классе по два представителя:

x_{1},y_{1}\in \eta _{1}

,

x_{2},y_{2}\in \eta _{2}

.

Рассмотрим следующие вектора:

x=x_{1}+x_{2}

,

y=y_{1}+y_{2}

и найдём разность между ними

~x-y=(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})=(x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})

.

По определению класса смежности

x_{1}-y_{1}\in L'

,

x_{2}-y_{2}\in L'

.

А так как $L'$ — подпространство линейного пространства, то и

x-y\in L'

.

Таким образом, элементы $x_{1}+x_{2}$ и $y_{1}+y_{2}$ принадлежат одному классу смежности, а значит определение суммы для классов смежности действительно не зависит от выбора представителей.

Докажем, что определение умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя. Пусть дан класс смежности $\eta$ и число $a$ . Выберем двух представителей класса

x_{1},x_{2}\in \eta

.

Нужно доказать, что вектора

y_{1}=ax_{1}

y_{2}=ax_{2}

принадлежат одному классу смежности. Вычислим их разность:

y_{2}-y_{1}=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1})

.

По определению класса смежности

x_{2}-x_{1}\in L'

,

но так как $L'$ является линейным пространством, то

y_{2}-y_{1}=a(x_{2}-x_{1})\in L'

.

Таким образом, определение операции умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя.

Докажем теперь, что для фактор-пространства с указанными операциями выполняются свойства линейного пространства.

Начнём с того, что укажем нулевой элемент фактор-пространства. Нулевым элементом фактор-пространства является подпространство $L'$ . Для доказательства этого факта нужно показать, что для любого класса смежности $\eta$ имеет место равенство

\eta +L'=\eta

.

Это равенство означает, что существуют такие вектора $x,y\in \eta$ и $z\in L'$ , что

x+z=y

или

x-y=z

,

но так как $z\in L'$ , то и

x-y\in L'

,

а следоватльно они принадлежат одному классу смежности, а класс $\eta _{0}=L'$ является нулевым элементом фактор пространства.

Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.

Упражнение 2.

Пусть фактор пространство $L/L'$ имеет размерность $n$ , выберем в этом фактор-пространстве базис

\eta _{1},...,\eta _{n}

тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации

\eta =\sum _{j=1}^{n}a_{j}\eta _{j}

.

Рассмотрим вектор $x\in \eta$ , выберем в каждом из базисных классов $\eta _{j}$ по одному представителю $x_{j}$ , тогда, по определению класса смежности фактор-пространства

y=x-\sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j}\in L'

,

то есть любой вектор $x\in L$ действительно представим в виде

x=\sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j}+y

,

причём

y\in L'

.

Упражнение 3.

Если $k=n$ , то $L=L'$ и теорема утверждение становится тривиальным. Будем далее считать, что $k<n$ .

Пусть $e'_{1},...,e'_{k}$ — базис в пространстве $L'$ . Так как размерность пространства $L$ равна $n$ , то можно так выбрать вектора $x_{1},...x_{n-k}$ , чтобы система

~e'_{1},...,e'_{k},x_{1},...,x_{n-k}

была линейно независимой. Вектора $x_{1},...x_{n-k}$ принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в $L'$ . Действительно, если $x_{j}$ и $x_{i}$ принадлежат одному классу смежности, то

x_{j}-x_{i}=y\in L'

,

или

x_{j}=x_{i}+\sum _{t=1}^{k}a_{t}e'_{t}

,

где $a_{1},...a_{k}$ — некоторые числа, то есть система окажется линейно-зависимой. Аналогично доказывается, что $x_{j}\notin L'$ . Так как мы указали $n-k$ линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти $n-k$ линейно-независимых классов смежности $\eta _{1},...,\eta _{n-k}$ .