Теория функций действительного переменного/Линейные пространства

Теория функций действительного переменного

  1. Эквивалентные множества
  2. Счётные множества
  3. Метрическое пространство
  4. Множества в метрическом пространстве
  5. Сходимость метрического пространства
  6. Непрерывные отображения метрического пространства
  7. Полные метрические пространства
  8. Принцип сжимающихся отображений
  9. Применение принципа сжимающихся отображений
  10. Линейные пространства
  11. Линейные функционалы
  12. Выпуклые множества и функционалы
  13. Нормированные и евклидовы пространства
  14. Непрерывные линейные функционалы
  15. Сопряжённое пространство
  16. Слабая сходимость
  17. Обобщённые функции
  18. Линейные операторы
  19. Компактные операторы
  20. Системы множеств
  21. Мера множеств, измеримые функции
  22. Интеграл Лебега
  23. Теория дифференцирования
  24. Пространства суммируемых функций
  25. Тригонометрические ряды
  26. Ортогональные системы функций
  27. Преобразование Фурье

Введение на некотором множестве метрики (то есть расстояния между элементами этого множества) позволяет ввести понятие сходимости — фундаментальное понятие математического анализа. В данном разделе мы рассмотрим такие множества, в которых можно ввести фундаментальные понятия алгебры: линейная комбинация, линейная зависимость, базис. Понятие линейной комбинации, в свою очередь, позволяет говорить о выпуклых множествах и телах — аналогах привычных понятий из геометрии.

Определение

править

Непустое множество   называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

  • Для любых двух элементов   однозначно определён элемент  , который называется суммой этих элементов и обозначается  , причём
    1. Коммутативность:  ,
    2. Ассоциативность:  ,
    3. Существование нуля: существует такой элемент  , что  ,
    4. Существование противоположного элемента: для каждого   существует такой  , что  .
  • Для любого числа   и любого элемента   определён элемент   (произведение элемента на число), причём
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  .

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства   и   называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

 ,
 ,

и установлены следующие взаимные соответствия

 ,

то для любого числа   должны выполняться соответствия

 ,
 .

Примеры

править

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R2 = { x = x1·i + x2· j}: x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j, x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j, 0 = 0·i + 0· j, −x = (−x1)·i +(−x2)· j. Справедливость остальных аксиом линейного пространства следует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.

Линейная зависимость

править

Система элементов

 

линейного пространства   называется линейно зависимой, если существуют такие числа

 ,

не все равные нулю, что имеет место равенство

 .

Если же это равенство возможно только при

 ,

то система векторов называется линейно независимой. Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема является линейно независимой.

Если в линейном пространстве   можно найти   линейно независимых элементов, а любые   элементов являются линейно-зависимыми, то говорят, что пространство   имеет размерность  . Если же в линейном пространстве можно выбрать любое конечное число линейно независимых элементов, то такое пространство называют бесконечномерным.

Базисом в n-мерном линейном пространстве называется любая система n линейно независимых элементов.

Конечномерные линейные пространства являются основным предметом изучения линейной алгебры, в анализе же, как правило, рассматриваются бесконечномерные линейные пространства.

Подпространства

править

Непустое подмножество   линейного пространства   называется подпространством, если оно является пространством по отношению к операциям сложения и умножения на число, определённых в исходном пространстве  . Другими словами,   является подпространством  , если для любых чисел   и  :

 .

Любое пространство можно считать своим подпространством. Кроме того, любое пространство содержит подпространство состоящее из одного — нулевого — элемента (так называемое нулевое подпространство). Подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Пересечение двух подпространств   и   линейного пространства   также является подпространством этого пространства. Для доказательства, рассмотрим два произвольных вектора  , принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа  :

 .

По определению пересечения множеств:

 ,
 .

Следовательно, по определению подпространства линейного пространства:

 ,
 .

Так как вектор   принадлежит и множеству  , и множеству  , то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

 .

Утверждение доказано. По индукции можно доказать, что пересечение любого количества подпространств является подпространством.

Пусть   — произвольное непустое множество элементов линейного пространства  . Наименьшее подпространство пространства  , содержащее   называется линейной оболочкой множества   и обозначается

 .

Покажем, что линейная оболочка множества существует. Рассмотрим систему всех подпространств, содержащих множество  , эта система содержит по меньшей мере один элемент — всё пространство  , и найдём пересечение всех таких подпространств. Так как пересечение любой системы подпространств снова есть подпространство, то полученное подпространство и будет наименьшим подпространством, содержащим  .

Линейно-независимая система   элементов линейного пространства   называется базисом Гамеля, если её линейная оболочка совпадает со всем  .

Фактор-пространства

править

Пусть   — линейное пространство, а   — некоторое его подпространство. Введём следующее отношение эквивалентности: два элемента   отнесём к одному классу эквивалентности, если их разность принадлежит подпространству  , то есть

 .

Легко проверить, что это отношение действительно удовлетворяет аксиомам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность:

 ,

так как любое подпространство содержит нулевой элемент, то любой элемент эквивалентен сам себе в указанном смысле.

Симметричность. Рассмотрим два вектора  . Пусть

 ,

тогда:

 ,

так как   — подпространство линейного пространства, то оно само является линейным пространством, а значит вместе с любым вектором содержит и обратный к нему.

Транзитивность. Рассмотрим три вектора  . Пусть

 ,
 ,

тогда, по определению подпространства линейного пространства:

 ,

с другой стороны

 ,

а значит

 .

Классы эквивалентности построенного отношения называются классами смежности(по подпространству  ). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством пространства   по   и обозначается  .

В любом фактор-пространстве можно естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Рассмотрим два класса смежности :  . Выберем в каждом из этих классов по одному представителю

 

и назовём суммой этих классов тот класс, которому принадлежит элемент  . Аналогичным образом определяется и произведение класса на число — класс, которому принадлежит произведение представителя на класса на то это число. Можно проверить, что определение сложения и умножения на число в фактор-пространстве не зависит от выбора представителей классов. Введённые таким образом операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства, а значит фактор-пространство линейного пространства само является линейным пространством, причём нулевым элементом фактор-пространства является подпространство  

Упражнение 1. Докажите, что введённые операции действительно удовлетворяют аксиомам линейного пространства и не зависят от выбора представителей классов смежности.

Размерность фактор-пространства   называется коразмерностью подпространства   в пространстве  .

Если коразмерность некоторого подпространства   есть конечное число  , то в   можно выбрать систему элементов   таких, что всякий элемент   будет иметь единственное представление вида

 ,

где   — некоторые числа и  .

Упражнение 2. Докажите это утверждение.

Упражнение 3. Докажите, что если размерность пространства   равна  , а размерность подпространства   равна  , то размерность фактор-пространства равна  .

Решения для упражнений

править

Упражнение 1.

Пусть   — два класса смежности.

Докажем, что сумма классов не зависит от выбора представителей. Возьмём в каждом классе по два представителя:

 ,
 .

Рассмотрим следующие вектора:

 ,
 

и найдём разность между ними

 .

По определению класса смежности

 ,
 .

А так как   — подпространство линейного пространства, то и

 .

Таким образом, элементы   и   принадлежат одному классу смежности, а значит определение суммы для классов смежности действительно не зависит от выбора представителей.

Докажем, что определение умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя. Пусть дан класс смежности   и число  . Выберем двух представителей класса

 .

Нужно доказать, что вектора

 
 

принадлежат одному классу смежности. Вычислим их разность:

 .

По определению класса смежности

 ,

но так как   является линейным пространством, то

 .

Таким образом, определение операции умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя.

Докажем теперь, что для фактор-пространства с указанными операциями выполняются свойства линейного пространства.

Начнём с того, что укажем нулевой элемент фактор-пространства. Нулевым элементом фактор-пространства является подпространство  . Для доказательства этого факта нужно показать, что для любого класса смежности   имеет место равенство

 .

Это равенство означает, что существуют такие вектора   и  , что

 

или

 ,

но так как  , то и

 ,

а следоватльно они принадлежат одному классу смежности, а класс   является нулевым элементом фактор пространства.

Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.

Упражнение 2.

Пусть фактор пространство   имеет размерность  , выберем в этом фактор-пространстве базис

 

тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации

 .

Рассмотрим вектор  , выберем в каждом из базисных классов   по одному представителю  , тогда, по определению класса смежности фактор-пространства

 ,

то есть любой вектор   действительно представим в виде

 ,

причём

 .

Упражнение 3.

Если  , то   и теорема утверждение становится тривиальным. Будем далее считать, что  .

Пусть   — базис в пространстве  . Так как размерность пространства   равна  , то можно так выбрать вектора  , чтобы система

 

была линейно независимой. Вектора   принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в  . Действительно, если   и   принадлежат одному классу смежности, то

 ,

или

 ,

где   — некоторые числа, то есть система окажется линейно-зависимой. Аналогично доказывается, что  . Так как мы указали   линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти   линейно-независимых классов смежности  .

Рассмотрим теперь произвольный класс смежности   и выберем в нём представителя  . Так как система

 

является линейно-независимой, то вектор   можно представить в виде

 .

Так как

 ,

то вектор   принадлежит классу смежности

 ,

а так как класс смежности вполне определяется одним своим представителем, то

 .

Утверждение доказано.