Теория функций действительного переменного/Системы множеств

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Система множеств — это множество, элементы которого сами являются множествами.

Кольцо множеств

Кольцо множеств — это непустая система множеств ${\mathfrak {R}}$, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности, то есть из $A\in {\mathfrak {R}}$ и $B\in {\mathfrak {R}}$ следует

$A\vartriangle B\in {\mathfrak {R}}$ и $A\cap B\in {\mathfrak {R}}$.

Операции объединения и разности множеств можно выразить через операции пересечения и симметричной разности:

$A\setminus B=A\vartriangle (A\cap B)$,

$A\cup B=\left(A\vartriangle B\right)\vartriangle \left(A\cap B\right)$.

Из этих равенств следует, что если два множества принадлежат кольцу множеств, то данному кольцу также принадлежат их объединение и разность, то есть из

$A\in {\mathfrak {R}}$,

$B\in {\mathfrak {R}}$

следует, что

$A\cup B\in {\mathfrak {R}}$,

$A\setminus B\in {\mathfrak {R}}$.

По индукции можно доказать, что кольцу множеств будет принадлежать объединение или пересечение любого конечного числа множеств данного кольца, то есть выражения вида

$~\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$,

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$.

Любое кольцо содержит пустое множество, так как пустое множество можно представить в виде разности

$\varnothing =A\setminus A$.

Отсюда следует, что наименьшее возможное кольцо множеств — это система множеств, содержащая только пустое множество.

Множество $E$ называется единицей системы множеств ${\mathfrak {S}}$, если $E\in {\mathfrak {S}}$ и для любого множества $A\in {\mathfrak {S}}$ имеет место равенство

$A\cap E=A$.

Другими словами, единица системы множеств — это такое множество, что все другие множества данной системы являются его подмножествами.

Алгебра множеств — это кольцо множеств с единицей.

Пусть $A$ — произвольное множество, тогда система всех его подмножеств ${\mathfrak {M}}(A)$ является алгеброй множеств (кольцом множеств с единицей).

Теорема 1. Пересечение

${\mathfrak {S}}=\bigcap _{\alpha }{\mathfrak {S_{\alpha }}}$

любого множества колец множеств есть кольцо множеств.

Доказательство.

Докажем теорему для случая пересечения двух колец множеств.

Пусть ${\mathfrak {S}}_{1}$ и ${\mathfrak {S}}_{2}$ — кольца множеств, рассмотрим их пересечение

${\mathfrak {S}}={\mathfrak {S}}_{1}\cap {\mathfrak {S}}_{2}$.

Пусть $A\in {\mathfrak {S}}$ и $B\in {\mathfrak {S}}$ два множества, принадлежащих системе ${\mathfrak {S}}$, тогда, по определению пересечения множеств, имеют места следующие включения

$A\in {\mathfrak {S}}_{1}$,

$A\in {\mathfrak {S}}_{2}$,

$B\in {\mathfrak {S}}_{1}$,

$B\in {\mathfrak {S}}_{2}$.

Из первого и третьего включения следует, по определению кольца множеств, что

$A\cap B\in {\mathfrak {S}}_{1}$,

$A\vartriangle B\in {\mathfrak {S}}_{1}$.

Аналогичным образом из второго и четвертого включения можно вывести, что

$A\cap B\in {\mathfrak {S}}_{2}$.

$A\vartriangle B\in {\mathfrak {S}}_{2}$.

Так как множества $A\cap B$ и $A\vartriangle B$ принадлежат и множеству ${\mathfrak {S}}_{1}$, и ${\mathfrak {S}}_{2}$, то они принадлежит, по определению, пересечению этих множеств:

$A\cap B\in {\mathfrak {S}}_{1}\cap {\mathfrak {S}}_{2}\in {\mathfrak {S}}$.

$A\vartriangle B\in {\mathfrak {S}}_{1}\cap {\mathfrak {S}}_{2}\in {\mathfrak {S}}$.

Отсюда следует, что пересечение ${\mathfrak {S}}={\mathfrak {S}}_{1}\cap {\mathfrak {S}}_{2}$ двух колец множеств является, по определению, кольцом множеств.

Для пересечения произвольного числа колец множеств теорема доказывается по индукции индукции.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств ${\mathfrak {S}}$ существует единственное кольцо множеств, содержащее как подмножество данную систему ${\mathfrak {S}}$ и являющееся подмножеством любого кольца множеств, содержащем ${\mathfrak {S}}$ как подмножество.

Доказательство.

Рассмотрим объединение всех множеств, входящих в систему ${\mathfrak {S}}$ :

$X=\bigcup _{A\in {\mathfrak {S}}}A$

и кольцо всех подмножеств множества $X$ — ${\mathfrak {M}}(X)$.

Пусть $~\Sigma$ — это совокупность всех колец множеств, содержащихся в ${\mathfrak {M}}(X)$ и содержащих ${\mathfrak {S}}$. Тогда пересечение

${\mathfrak {B}}$ = $\bigcap _{{\mathfrak {R}}\in \Sigma }{\mathfrak {R}}$

всех этих колец и будет искомым кольцом ${\mathfrak {R(S)}}$.

Действительно, каково бы ни было кольцо

${\mathfrak {R}}_{1}\supset {\mathfrak {S}}$,

пересечение

${\mathfrak {R}}_{2}={\mathfrak {R}}_{1}\cap {\mathfrak {M}}(X)$

будет кольцом из $~\Sigma$, а следовательно

${\mathfrak {S}}\subset {\mathfrak {R}}_{2}\subset {\mathfrak {R}}_{1}$.

Таким образом, система ${\mathfrak {B}}$ действительно является наименьшим кольцом, содержащим ${\mathfrak {S}}$. Теорема доказана.

Кольцо, содержащее систему множеств ${\mathfrak {S}}$ и содержащееся в любом другом кольце, содержащем ${\mathfrak {S}}$, называют кольцом, порождённым системой ${\mathfrak {S}}$, или минимальным кольцом над ${\mathfrak {S}}$. Минимальное кольцо над ${\mathfrak {S}}$ обозначается ${\mathfrak {R(S)}}$.

Полукольцо множеств

Пусть задано множество $A$. Набор попарно непересекающихся множеств $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ такой, что

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A$,

называется конечным разложением множества A.

Система множеств ${\mathfrak {S}}$ называется полукольцом, если она содержит пустое множество $\varnothing$, замкнута относительно операции пересечения множеств и обладает тем свойством, что из принадлежности множеств $A$ и $A_{1}\subset A$ системе ${\mathfrak {S}}$ вытекает возможность представления множества $A$ в виде

$A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$,

где $A_{k}$ — попарно непересекающиеся множества из ${\mathfrak {S}}$.

Всякое кольцо ${\mathfrak {R}}$ является полукольцом, так как любого множества $A$ и любого его подмножества $A_{1}$ справедливо представление

$A=A_{1}\cup A_{2},~A_{2}=A\setminus A_{1}\in {\mathfrak {R}}$.

Лемма 1. Пусть множества $A_{1},...,A_{n}$ и $A$ принадлежат полукольцу ${\mathfrak {S}}$, причём множества $A_{i}$ попарно не пересекаются и все являются подмножествами множества $A$. Тогда набор множеств $\{A_{i}\}$ можно дополнить множествами $A_{n+1},...,A_{s}\in {\mathfrak {S}}$ до конечного разложения множества $A$

$A=\bigcup _{i=1}^{s}A_{i},~s\geq n$.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. При $n=1$ утверждение теоремы следует из определения полукольца. Базис индукции доказан.

Теперь предположим, что утверждение леммы выполняется для всех натуральных чисел от 1 до $n-1$ (включительно) и рассмотрим систему из $n$ множества $A_{1},...,A_{n}$, удовлетворяющую условиям леммы. По предположению:

$A=A_{1}\cup ...\cup A_{n-1}\cup B_{1}\cup ...\cup B_{p}$,

где

$B_{k}\in {\mathfrak {S}},~k=1,...,p$.

Так как $A_{n}\subset A$ и $A_{n}\cap A_{i}=\varnothing ,~i=1,...,n-1$, то

$A_{n}\in B_{1}\cup ...\cup B_{p}$.

Положим

$B_{k1}=A_{n}\cap B_{k},k=1,...,p$.

Так как любая точка множества $A_{n}$ принадлежит одному из множеств $B_{k}$, то

$A_{n}=\bigcup _{k=1}^{p}B_{k1}$.

Очевидно, что

$B_{k1}\subset B_{k}$,

следовательно, по определению полукольца множеств, имеется конечное разложение

$B_{k}=B_{k1}\cup ...\cup B_{kr_{k}}$,

причём для любых $k$ и $j$

$B_{kj}\in {\mathfrak {S}}$.

Положим

$C_{k}=B_{k2}\cup ...\cup B_{kr_{k}}=B_{k}\setminus B_{k1}$.

Так как множество $B_{k1}$, по определению, содержит все точки, входящие одновременно и в $B_{k}$ и $A_{n}$, то множество $C_{k}\subset B_{k}$ не содержит точек множества $A_{n}$:

$A_{n}\cap C_{k}=\varnothing$.

А так как $C_{k}\subset B_{k}$, то все множества набора

$A_{1},...,A_{n-1},B_{1},...,B_{p}$

являются попарно непересекающимися, то и все множества

$A_{1},...,A_{n-1},C_{1},...C_{p},$

являются попарно непересекающимися.

Проведём некоторые преобразования:

$B_{1}\cup ...\cup B_{p}=\bigcup _{k=1}^{p}\bigcup _{j=1}^{r_{k}}B_{jk}=\bigcup _{k=1}^{p}\left(B_{k1}\cup \bigcup _{j=2}^{r_{k}}B_{jk}\right)=A_{n}\cup \bigcup _{k=1}^{p}C_{k}$.

Следовательно:

$A=A_{1}\cup ...\cup A_{n-1}\cup A_{n}\cup \bigcup _{k=1}^{p}C_{k}$.

Лемма доказана для $n=1$ и для произвольного $n$ в предположении, что она справедлива для $n-1$, следовательно лемма доказана для любого $n$.

Лемма 2. Какова бы ни была конечная система множеств $A_{1},...,A_{n}$, принадлежащих полукольцу ${\mathfrak {S}}$, в ${\mathfrak {S}}$ найдётся такая конечная система попарно непересекающихся множеств $B_{1},...B_{t}$, что каждое множество $A_{k}$ может быть представлено в виде конечного разложения:

$A_{k}=\bigcup _{s\in M_{k}}B_{s}$,

где $M_{k}$ — это некоторое подмножество множества индексов $\{1,...,t\}$.

Теорема 2 устанавливает тот факт, что для каждой системы множеств ${\mathfrak {S}}$ существует единственное минимальное кольцо, содержащее ${\mathfrak {S}}$. Следующая теорема позволяет построить кольцо, порождённое полукольцом.

Теорема 3. Если ${\mathfrak {S}}$ — полукольцо, то ${\mathfrak {R(S)}}$ совпадает с системой ${\mathfrak {B}}$ множеств $A$, допускающих представление в виде объединения конечного числа множеств из ${\mathfrak {S}}$:

$A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$,

где $A_{k}\in {\mathfrak {S}}$.

Кольцо, порождённое полукольцом

По теореме 2, для каждой системы множеств существует порождённое ей кольцо. Если данная система множеств является полукольцом, то можно доказать усиленную теорему, которая даёт конструктивный способ построения такого кольца.

Теорема 3. Если ${\mathfrak {S}}$ — полукольцо, то порождённое им кольцо ${\mathfrak {R(S)}}$ совпадает с системой ${\mathfrak {B}}$ множеств $A$, допускающих конечные разложения

$A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$

на множества $A_{k}\in {\mathfrak {S}}$.

Доказательство.

Докажем сначала, что система множеств ${\mathfrak {B}}$ является кольцом. Если

$A,B\in {\mathfrak {B}}$,

то имеют место разложения

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},~A_{i}\in {\mathfrak {S}}$,

$B=\bigcup _{k=1}^{m}B_{k},~B_{k}\in {\mathfrak {S}}$.

Так как ${\mathfrak {S}}$ — полукольцо, то

$C_{ik}=A_{i}\cap B_{k}\in {\mathfrak {S}}$.

По Лемме 1, имеют место разложения на непересекающиеся множества

$A_{i}=\bigcup _{k=1}^{m}C_{ik}\cup \bigcup _{j=1}^{r_{i}}D_{ij},~D_{ij}\in {\mathfrak {S}}$,

$B_{k}=\bigcup _{i=1}^{n}C_{ik}\cup \bigcup _{t=1}^{s_{k}}F_{kt},~F_{kt}\in {\mathfrak {S}}$.

Из этих равенств следует, что

$A\cap B=\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{k}^{m}C_{ik}$,

$A\vartriangle B=\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{r_{i}}D_{ij}\cup \bigcup _{k=1}^{m}\bigcup _{t=1}^{s_{k}}F_{kt}$.

Таким образом:

$A\cap B\in {\mathfrak {B}}$,

$A\vartriangle B\in {\mathfrak {B}}$,

то есть ${\mathfrak {B}}$ действительно является кольцом.

Минимальность следует из того, что ${\mathfrak {R(S)}}$ должно содержать все элементы полукольца ${\mathfrak {S}}$, и следовательно, по свойствам кольца, и объединения конечного числа множеств из ${\mathfrak {S}}$.

σ-алгебры

Иногда приходится рассматривать пересечение или объединение не только конечного, но и счётного числа множеств.

Кольцо ${\mathfrak {R}}$ множеств называется σ-кольцом, если из принадлежности ${\mathfrak {R}}$ всех элементов последовательности множеств $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ следует принадлежность кольцу ${\mathfrak {R}}$ объединения $\bigcup _{n}A_{n}$ всех множеств этой последовательности.

Кольцо ${\mathfrak {R}}$ множеств называется δ-кольцом, если из принадлежности ${\mathfrak {R}}$ всех элементов последовательности множеств $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ следует принадлежность кольцу ${\mathfrak {R}}$ пересечения $\bigcap _{n}A_{n}$ всех множеств этой последовательности.

σ-кольцо с единицей называют σ-алгеброй. Естественным было бы назвать δ-кольцом с единицей δ-алгеброй, но оказывается, что это понятия тождественно понятию σ-алгеброй. Это вытекает из соотношений двойственности (законов де Моргана):

$\bigcup _{n}A_{n}=E\ \bigcap _{n}(E\setminus A_{n})$,

$\bigcap _{n}A_{n}=E\ \bigcup _{n}(E\setminus A_{n})$.

Простейший пример σ-алгебры — это совокупность всех подмножеств некоторого множества $A$.

Пусть ${\mathfrak {S}}$ — некоторая система множеств, тогда существует по меньшей мере одна σ-алгебра, содержащая эту систему. Действительно, положим

$B=\bigcup _{A\in {\mathfrak {S}}}A$

и рассмотрим систему всех подмножеств множества $B$ — ${\mathfrak {B}}$, эта система является σ-алгеброй, содержащей ${\mathfrak {S}}$. Рассмотрим теперь некоторую σ-алгебру ${\mathfrak {B}}_{1}$, содержащую систему ${\mathfrak {S}}$, обозначим единицу этой алгебры как $E_{1}$. Будет иметь место соотношение

$B=\bigcup _{A\in {\mathfrak {S}}}A\subset E_{1}$.

Таким образом σ-алгебра подмножеств множества

$\bigcup _{A\in {\mathfrak {S}}}A$

является минимальной.

Неприводимая σ-алгебра — это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из $A\in {\mathfrak {S}}$.

Теорема 4. Для любой непустой системы множеств ${\mathfrak {S}}$ существует неприводимая (по отношению к данной системе) σ-алгебра ${\mathfrak {B(S)}}$, содержащая ${\mathfrak {S}}$ и содержащаяся в любой σ-алгебре, содержащей ${\mathfrak {S}}$.

Доказательсвто. Из теоремы 2 следует существование минимального кольца ${\mathfrak {R(S)}}$, порождённого системой ${\mathfrak {S}}$. Единицей этой σ-алгебры будет объединение всех множеств из системы ${\mathfrak {S}}$.

В математическом анализе важную роль играют так называемые борелевские множества (кратко: B-множества) — множества числовой прямой, принадлежащие минимальной σ-алгебре над совокупностью всех сегментов $[a,b]$.

Системы множеств и отображения

Пусть $y=f(x)$ — это отображение, определённое на множестве $M$, и принимающее значения из множества $N$, рассмотрим некоторую систему ${\mathfrak {M}}$ подмножеств множества $M$. Обозначим систему всех образов $f(A)$ множеств $A\in {\mathfrak {M}}$ как $f({\mathfrak {M}})$. Пусть ${\mathfrak {N}}$ — некоторая система подмножеств множества $N$, а $f^{-1}({\mathfrak {N}})$ — это система всех прообразов $f^{-1}(B)$ множеств $B\in {\mathfrak {N}}$.

Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если ${\mathfrak {N}}$ — кольцо, то $f^{-1}({\mathfrak {N}})$ — кольцо.

Утверждение 2. Если ${\mathfrak {N}}$ — алгебра, то $f^{-1}({\mathfrak {N}})$ — алгебра.

Утверждение 3. Если ${\mathfrak {N}}$ — σ-алгебра, то $f^{-1}({\mathfrak {N}})$ — σ-алгебра.