Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Определения

Функционал — это правило, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие некоторое действительное число.

Функционал $f$, заданный на линейном пространстве $L$ называют аддитивным, если он обладает следующим свойством

$f(x+y)=f(x)+f(y)~\forall x,y\in L$.

Функционал называется однородным, если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

$f(\alpha x)=\alpha f(x)~\forall x\in L$.

Функционал, заданный на комплексном линейном пространстве, называется сопряжённо-однородным, если если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

$f(\alpha x)={\overline {\alpha }}f(x)~\forall x\in L$,

где ${\overline {\alpha }}$ — комплексно-сопряжённое с $\alpha$ число.

Функционал, который является одновременно аддитивным и однородным, называют линейным функционалом. Одновременно аддитивный и сопряжённо-однородный функционал называют сопряженно-линейным или полулинейным.

Геометрический смысл линейного функционала

Пусть $f$ — линейный функционал, заданный на линейном пространстве $L$ и не равный тождественно нулю.

Множество точек линейного пространства, обращающих линейный функционал в нуль, является подпространством линейного пространства $L$, которое называют подпространством нулей или ядром функционала $f$. Ядро функционала $f$ обозначается через $Ker(f)$, от английского слова kernel — ядро.

Докажем, что ядро функционала действительно является подпространством. Пусть даны два вектора $x$ и $y$ такие, что:

$~f(x)=0$,

$~f(y)=0$.

Пусть $a$, $b$ — произвольные вещественные числа, тогда

$~f(ax+by)=af(x)+bf(y)=0$.

Таким образом, линейная комбинация элементов ядра функционала также является элементом его ядра.

Ядро функционала $f$ имеет коразмерность 1. Чтобы доказать этот факт, возьмём какую-либо точку $x_{0}$ не входящую в ядро, то есть такую, что $f(x_{0})\neq 0$. Такой элемент всегда можно выбрать, так как в противном случае функционал $f$ будет тождественно равен нулю, а это противоречит нашему исходному предположению. Более того, можно считать, что

$~f(x_{0})=1$,

так как если это равенство не выполняется, то вместо $x_{0}$ можно было бы взять точку

${\frac {x_{0}}{f(x_{0})}}$,

в этой точке значение функционала будет равно единице, так как, по определению линейного функционала:

$f\left({\frac {x_{0}}{f(x_{0})}}\right)={\frac {f(x_{0})}{f(x_{0})}}=1$.

Для каждой точки $x$ определим

$~y=x-f(x)x_{0}$.

В точке $y$ выполняется следующее равенство

$f(y)=f\left(x-f(x)x_{0}\right)=f(x)-f(x_{0})f(x)=0$,

а значит, по определению ядра линейного функционала:

$y\in Ker(f)$.

Представление элемента $x$ в виде

$x=\alpha x_{0}+y,~y\in Ker(f)$

является единственным (при заданной точке $x_{0}$). Доказательство единственности проведём от противного. Пусть существуют два таких представления:

$x=\alpha _{1}x_{0}+y_{1},~y_{1}\in Ker(f)$,

$x=\alpha _{2}x_{0}+y_{2},~y_{2}\in Ker(f)$.

Вычтем из первого равенства второе:

$~(\alpha _{1}-\alpha _{2})x_{0}=y_{2}-y_{1}$.

Если имеет место равенство

$~\alpha _{1}=\alpha _{2}$,

то левая часть равенства есть нуль, а следовательно и правая часть равна нулю, то есть

$~y_{2}=y_{1}$.

Если же

$~\alpha _{1}\neq \alpha _{2}$,

то можно получить следующее выражение для вектора $x_{0}$:

$x_{0}={\frac {y_{2}-y_{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}$.

Вычислим значение функционала в этой точке

$f(x_{0})=f\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}\right)={\frac {f(y_{2}-y_{1})}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}={\frac {f(y_{2})-f(y_{1})}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}=0$,

но это противоречит предположению

$~f(x_{0})=1$,

а значит представление

$x=\alpha x_{0}+y,~y\in Ker(f)$

действительно является единственным.

Докажем следующее утверждение: две точки принадлежат одному классу смежности по подпространству $Ker(f)$ тогда и только тогда, когда значения в этих точках равны. Точки $x_{1}$ и $x_{2}$ принадлежат одному классу смежности по $Ker(f)$, если

$x_{1}-x_{2}\in Ker(f)$,

то есть, по определению ядра функционала, если

$f(x_{1}-x_{2})=0$.

В силу линейности функционала:

$f(x_{1}-x_{2})=f(x_{1})-f(x_{2})$,

откуда и следует исходное утверждение.

Любой класс смежности по подпространству $Ker(f)$ определеятся любым своим представителем. В качестве представителя можно взять элемент вида $\alpha x_{0}$, откуда и следует, что фактор-пространство $L/Ker(f)$ имеет размерность 1, то есть ядро $Ker(f)$ имеет коразмерность 1 (по определению коразмерности).

Можно доказать, что ядро линейного функционала определяет его с точностью до постоянного множителя. Рассмотрим два функционала $f$ и $g$ с совпадающими ядрами:

$~Ker(f)=Ker(g)$.

Если ядро этих функционалов совпадает со всем пространством, то очевидно, что оба функционала тождественно равны нулю в этом пространстве, и утверждение доказано. Будем считать, что функционалы $f$ и $g$ не равны тождественно нулю. Выберем элемент

$x_{0}:~f(x_{0})=1$

(выше было показано, что такой выбор всегда возможен, если функционал не равен тождественно нулю), тогда существует единственное представление

$x=f(x)x_{0}+y,y\in Ker(f)=Ker(g)$.

Вычислим значение функционала $g$, используя это представление:

$g(x)=g\left(f(x)x_{0}+y\right)=f(x)g(x_{0})+g(y)=g(x_{0})f(x)+0=g(x_{0})f(x)$.

Если $g(x_{0})=0$, то функционал $g$ был бы тождественно равен нулю, что противоречит нашему предположению. Из равенства

$~g(x)=g(x_{0})f(x)$

вытекает, что эти два функционала пропорциональны друг другу. Утверждение доказано.

Для всякого подпространства $L'\subset L$, имеющего коразмерность 1, можно построить такой функционал $f$, что : $Ker(f)=L'$. Построение осуществляется следующим образом. Выберем произвольную точку

$x_{0}\notin L'$

и представить каждую точку $x\in L$ исходного пространства в виде

$~x=\alpha _{x}x_{0}+y,~y\in L'$.

(индекс у коэффициента разложения подчёркивает тот факт, что он различен для разных точек линейного пространства). Положив

$~f(x)=\alpha _{x}$,

получим линейный функционал, ядро которого совпадает с данным подпространством $L'\subset L$.

Пусть $L'\subset L$ — подпространство коразмерности 1. Всякий класс смежности пространства $L$ по его подпространству $L'$ называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $L'\subset L$. Само подпространство является гиперплоскостью, содержащей нулевой элемент. Другими словами, гиперплоскость $H$ — это множество, получаемое сдвигом всех элементов некоторого подпространства коразмерности 1 на некоторый вектор $x_{0}\in L$:

$H=\left\{x+x_{0}\mid x\in L'\right\}$.

Если $f$ — линейный функционал, не равный тождественно нулю, определённый на пространстве $L$, то множество

$H_{f}=\left\{x:~f(x)=1\right\}$

называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $Ker(f)$.

Если $H$ — гиперплоскость, параллельная подпространству $L'\subset L$, коразмерность которого равна 1, то можно построить единственный линейный функционал $f$ такой, что

$H=\left\{x:~f(x)=1\right\}$.

Это означает, что между линейными функционалами, не равными тождественно нулю, и гиперплоскостями, не проходящими через начало координат, можно установить взаимно-однозначное соответствие. В этом и заключается геометрический смысл линейного функционала.