Основы теоретической физики/Тензор энергии-импульса

2.4.13. Тензор энергии-импульсаПравить

Выражение для энергии электромагнитного поля (2.4.93)  и (2.4.94)  можно вывести в четырехмерном виде. Для простоты будем рассматривать поле без зарядов и проделаем выкладки в общем виде, чтобы полученные формулы можно было применять в дальнейшем не только к электромагнитным, но и к любым другим полям, в том числе к полю гравитации.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид подобный рассмотренной нами ранее формуле (2.4.41):

  формулы (2.4.117)

Интегрирование ведется по четырехмерному объему, а подынтегральная функция зависит от некоторых величин q и их производных от координат и времени. Эти величины (и их производные) полностью определяют механическое состояние системы. Другими словами, функцию   можно назвать четырехмерным аналогом функции Лагранжа. Следует отдельно отметить, что здесь мы считаем функцию   не зависящей явно 4-вектора Xi также как классическую функции Лагранжа мы считали не зависящей явно от времени. Далее для краткости будем обозначать производные:

  формулы (2.4.118)

Применим для (2.4.117)  принцип наименьшего действия, приравняв к нулю вариацию действия:

  формулы (2.4.119)

Ко второму члену в (2.4.119)  можно применить четырехмерный аналог теоремы Гаусса как мы это делали ранее в формуле (2.4.76) :

  формулы (2.4.120)

Нас интересуют физические поля, которые равны нулю в бесконечности. Поскольку интегрирование ведется по всему пространству, интеграл (2.4.120)  будет равен нулю. Таким образом, формула (2.4.119)  приобретает вид:

  формулы (2.4.121)

Равенство нулю интеграла означает равенство нулю подынтегрального выражения:

  формулы (2.4.122)

Легко заметить, что уравнения (2.4.122)  являются четырехмерным обобщением классических уравнений Лагранжа (1.1.24) . Пользуясь такой аналогией, проведем преобразования, аналогичные тем, которые мы проводили при выводе закона сохранения энергии в классической механике.

Найдем частную производную функции  :

  формулы (2.4.123)

Подставим (2.4.122)  в (2.4.123) :

  формулы (2.4.124)

Заметим теперь, что (2.4.124)  можно сгруппировать как производную произведения:

  формулы (2.4.125)

Левую часть равенства (2.4.125)  можно переписать, используя дельта-символ:

  формулы (2.4.126)

Подставим (2.4.126)  в (2.4.125)  и перенесем все в одну часть равенства:

  формулы (2.4.127)

Обозначим выражение в скобках как тензор второго ранга:

  формулы (2.4.128)

Тогда (2.4.127)  перепишется в виде:

  формулы (2.4.129)

Левая часть выражения (2.4.129)  — это тензорный аналог дивергенции. Как было показано при выводе уравнения непрерывности (2.4.63) , равенство нулю дивергенции означает, что сохраняется соответствующий интеграл по поверхности:

  формулы (2.4.130)

Постоянный в замкнутой системе вектор Pi, будем считать 4-импульсом системы. Коэффициент пропорциональности  , нужно выбрать так, чтобы определение 4-импульса (2.4.130)  совпадало с определением (2.3.54) :

  формулы (2.4.131)

Проще всего найти коэффициент   если рассмотреть временную компоненту 4-импульса. Найдем  , из определения (2.4.130)  считая время постоянным. Тогда интегрировать нужно по трехмерному пространству. Учитывая, что четырехмерная поверхность – это объем в трехмерном пространстве, получаем:

  формулы (2.4.132)

С другой стороны, из (2.4.128)  имеем:

  формулы (2.4.133)

Если теперь сравнить (2.4.133)  и классическое определение энергии через функцию Лагранжа (1.2.5) , то величину T00 - тоже можно было бы отождествить с энергией. Однако величина T00 в (2.4.132)  интегрируется по объему, значит это не просто энергия, а «плотность энергии» системы, то есть энергия, приходящаяся на единицу объема.

Коэффициент   теперь легко находится:

  формулы (2.4.134)

Окончательно для 4-импульса получаем выражение:

  формулы (2.4.135)

Тензор (2.4.128), который стоит в подынтегральном выражении (2.4.135) , называется «тензором энергии-импульса» системы. Выражение (2.4.129)  является четырехмерным аналогом закона сохранения энергии.

Если проинтегрировать (2.4.135)  по гиперплоскости  , то выражение для 4-импульса приобретает вид:

  формулы (2.4.136)

Где интегрирование ведется по всему трехмерному пространству. Сравним этот интеграл с (2.4.130) :

  формулы (2.4.137)

Видно, что вектор с компонентами   - имеет смысл плотности импульса, а величина T00 - плотности энергии системы.

По аналогии с классической механикой, можно определить «тензор момента импульса» системы следующим интегралом:

  формулы (2.4.138)

Закон сохранения момента импульса в формулировке для четырехмерного пространства будет выглядеть как равенство константе всех компонент (2.4.138) :

  формулы (2.4.139)

Сохранение интеграла по поверхности (2.4.139)  означает равенство нулю дивергенции от подынтегрального выражения, воспользовавшись (2.4.130)  получим:

  формулы (2.4.140)

То есть чтобы выполнялся закон сохранения момента импульса (2.4.139) , тензор энергии-импульса (2.4.128)  должен быть симметричным

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить