Основы теоретической физики/Тензор энергии-импульса

2.4.13. Тензор энергии-импульса

Выражение для энергии электромагнитного поля  (2.4.93)  и  (2.4.94)  можно вывести в четырехмерном виде. Для простоты будем рассматривать поле без зарядов и проделаем выкладки в общем виде, чтобы полученные формулы можно было применять в дальнейшем не только к электромагнитным, но и к любым другим полям, в том числе к полю гравитации.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид подобный рассмотренной нами ранее формуле (2.4.41):

$Undefined~formula$ формулы (2.4.117)

Интегрирование ведется по четырехмерному объему, а подынтегральная функция зависит от некоторых величин q и их производных от координат и времени. Эти величины (и их производные) полностью определяют механическое состояние системы. Другими словами, функцию $\Lambda$ можно назвать четырехмерным аналогом функции Лагранжа. Следует отдельно отметить, что здесь мы считаем функцию $\Lambda$ не зависящей явно 4-вектора Xⁱ также как классическую функции Лагранжа мы считали не зависящей явно от времени. Далее для краткости будем обозначать производные:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.118)

Применим для  (2.4.117)  принцип наименьшего действия, приравняв к нулю вариацию действия:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.119)

Ко второму члену в  (2.4.119)  можно применить четырехмерный аналог теоремы Гаусса как мы это делали ранее в формуле  (2.4.76) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.120)

Нас интересуют физические поля, которые равны нулю в бесконечности. Поскольку интегрирование ведется по всему пространству, интеграл  (2.4.120)  будет равен нулю. Таким образом, формула  (2.4.119)  приобретает вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.121)

Равенство нулю интеграла означает равенство нулю подынтегрального выражения:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.122)

Легко заметить, что уравнения  (2.4.122)  являются четырехмерным обобщением классических уравнений Лагранжа  (1.1.24) . Пользуясь такой аналогией, проведем преобразования, аналогичные тем, которые мы проводили при выводе закона сохранения энергии в классической механике.

Найдем частную производную функции $\Lambda$:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.123)

Подставим  (2.4.122)  в  (2.4.123) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.124)

Заметим теперь, что  (2.4.124)  можно сгруппировать как производную произведения:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.125)

Левую часть равенства  (2.4.125)  можно переписать, используя дельта-символ:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.126)

Подставим  (2.4.126)  в  (2.4.125)  и перенесем все в одну часть равенства:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.127)

Обозначим выражение в скобках как тензор второго ранга:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.128)

Тогда  (2.4.127)  перепишется в виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.129)

Левая часть выражения  (2.4.129)  — это тензорный аналог дивергенции. Как было показано при выводе уравнения непрерывности  (2.4.63) , равенство нулю дивергенции означает, что сохраняется соответствующий интеграл по поверхности:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.130)

Постоянный в замкнутой системе вектор Pⁱ, будем считать 4-импульсом системы. Коэффициент пропорциональности $\alpha$, нужно выбрать так, чтобы определение 4-импульса  (2.4.130)  совпадало с определением  (2.3.54) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.131)

Проще всего найти коэффициент $\alpha$ если рассмотреть временную компоненту 4-импульса. Найдем ${P}^{0}={\frac {E}{c}}$, из определения  (2.4.130)  считая время постоянным. Тогда интегрировать нужно по трехмерному пространству. Учитывая, что четырехмерная поверхность – это объем в трехмерном пространстве, получаем:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.132)

С другой стороны, из  (2.4.128)  имеем:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.133)

Если теперь сравнить  (2.4.133)  и классическое определение энергии через функцию Лагранжа  (1.2.5) , то величину T⁰₀ - тоже можно было бы отождествить с энергией. Однако величина T⁰₀ в  (2.4.132)  интегрируется по объему, значит это не просто энергия, а «плотность энергии» системы, то есть энергия, приходящаяся на единицу объема.

Коэффициент $\alpha$ теперь легко находится:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.134)

Окончательно для 4-импульса получаем выражение:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.135)

Тензор (2.4.128), который стоит в подынтегральном выражении  (2.4.135) , называется «тензором энергии-импульса» системы. Выражение  (2.4.129)  является четырехмерным аналогом закона сохранения энергии.

Если проинтегрировать  (2.4.135)  по гиперплоскости $X^{0}={\text{const}}$, то выражение для 4-импульса приобретает вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.136)

Где интегрирование ведется по всему трехмерному пространству. Сравним этот интеграл с  (2.4.130) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.137)

Видно, что вектор с компонентами $\left({\frac {{T}^{10}}{c}},{\frac {{T}^{20}}{c}},{\frac {{T}^{30}}{c}}\right)$ - имеет смысл плотности импульса, а величина T⁰⁰ - плотности энергии системы.

По аналогии с классической механикой, можно определить «тензор момента импульса» системы следующим интегралом:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.138)

Закон сохранения момента импульса в формулировке для четырехмерного пространства будет выглядеть как равенство константе всех компонент  (2.4.138) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.139)

Сохранение интеграла по поверхности  (2.4.139)  означает равенство нулю дивергенции от подынтегрального выражения, воспользовавшись  (2.4.130)  получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.140)

То есть чтобы выполнялся закон сохранения момента импульса  (2.4.139) , тензор энергии-импульса  (2.4.128)  должен быть симметричным

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление