Основы теоретической физики/Плотность и поток энергии

2.4.10. Плотность и поток энергии

Запишем вместе все четыре уравнения Максвелла в дифференциальном виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.84)

Объединим первое и четвертое уравнения:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.85)

Воспользуемся известной формулой векторного анализа:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.86)

Подставляя  (2.4.86) 

в  (2.4.85) 

, получим выражение:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.87)

Величина ${\overrightarrow {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\vec {E}}\times {\vec {H}}\right]$ - называется «вектором Пойнтинга». Проинтегрируем обе части  (2.4.87) 

по объему и применим теорему Гаусса:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.88)

Если интегрирование проводится по всему пространству, интеграл по поверхности f, охватывающей бесконечный объем V, будет равен нулю так как поле в бесконечности равно нулю, поэтому:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.89)

Подставим во второе слагаемое  (2.4.89) 

определение тока  (2.4.53) 
и заменим интегрирование по бесконечно малому заряду dq, суммированием по элементарным зарядам:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.90)

Объединим  (2.4.90) 

с формулой для мощности электромагнитного поля  (2.4.21) 

$Undefined~formula$ формулы (2.4.91)

Подставим  (2.4.91) 

в  (2.4.89) 
и получим следующий закон:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.92)

Из  (2.4.92) 

следует, что для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля и заряженных частиц, сохраняется величина:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.93)

Поскольку второе слагаемое в  (2.4.93) 

это кинетическая энергия всех частиц в системе, то первое слагаемое имеет физический смысл энергии электромагнитного поля. Тогда формула  (2.4.93) 
представляет собой закон сохранения энергии в замкнутой системе.

Подынтегральное выражение в  (2.4.93)  , называется «плотностью энергии» электромагнитного поля, или энергией единицы объема поля:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.94)

Физический смысл вектора Пойнтинга можно выяснить если взять интеграл  (2.4.88) 

по конечному объему пространства. В этом случае интеграл по поверхности может быть не равен нулю:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.95)

Левая часть  (2.4.95) 

представляет собой изменение энергии поля в конечном объеме в единицу времени, значит интеграл в правой части – это поток поля через поверхность, ограничивающую данный объем. Таким образом вектор Пойнтинга ${\overrightarrow {S}}$ – это плотность потока, или количество энергии, протекающее через единицу поверхности в единицу времени.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление