Основы теоретической физики/Плотность и поток энергии
2.4.10. Плотность и поток энергии
правитьЗапишем вместе все четыре уравнения Максвелла в дифференциальном виде:
Объединим первое и четвертое уравнения:
Воспользуемся известной формулой векторного анализа:
Подставляя (2.4.86) в (2.4.85) , получим выражение:
Величина - называется «вектором Пойнтинга». Проинтегрируем обе части (2.4.87) по объему и применим теорему Гаусса:
Если интегрирование проводится по всему пространству, интеграл по поверхности f, охватывающей бесконечный объем V, будет равен нулю так как поле в бесконечности равно нулю, поэтому:
Подставим во второе слагаемое (2.4.89) определение тока (2.4.53) и заменим интегрирование по бесконечно малому заряду dq, суммированием по элементарным зарядам:
Объединим (2.4.90) с формулой для мощности электромагнитного поля (2.4.21)
Подставим (2.4.91) в (2.4.89) и получим следующий закон:
Из (2.4.92) следует, что для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля и заряженных частиц, сохраняется величина:
Поскольку второе слагаемое в (2.4.93) это кинетическая энергия всех частиц в системе, то первое слагаемое имеет физический смысл энергии электромагнитного поля. Тогда формула (2.4.93) представляет собой закон сохранения энергии в замкнутой системе.
Подынтегральное выражение в (2.4.93) , называется «плотностью энергии» электромагнитного поля, или энергией единицы объема поля:
Физический смысл вектора Пойнтинга можно выяснить если взять интеграл (2.4.88) по конечному объему пространства. В этом случае интеграл по поверхности может быть не равен нулю:
Левая часть (2.4.95) представляет собой изменение энергии поля в конечном объеме в единицу времени, значит интеграл в правой части – это поток поля через поверхность, ограничивающую данный объем. Таким образом вектор Пойнтинга – это плотность потока, или количество энергии, протекающее через единицу поверхности в единицу времени.
См. также
правитьПримечания
править