Основы теоретической физики/Четырёхмерный вектор тока

2.4.7. Четырёхмерный вектор тока

Рассмотрим некоторый объем V, внутри которого распределены точечные заряды. Тогда «плотность заряда» можно определить формулой:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.49)

При таком определении интеграл от плотности заряда по некоторому объему, будет равен полному заряду. Нужно, однако понимать, что в релятивистской механике заряды рассматриваются как точечные частицы, значит плотность заряда  (2.4.49)  равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся заряды. Поэтому, математически более верно, будет определять плотность заряда с помощью $\delta$ -функции в виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.50)

Где сумма берется по всем зарядам, а ${\overrightarrow {r}}_{a}$ — это радиус-вектор заряда. Дельта-функция $\delta ({\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r}}_{a})$, по определению, это функция, которая равна нулю везде, кроме точек ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}_{a}$(в этих точках она равна бесконечности), при этом выполняется равенство:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.51)

То есть плотность заряда – это такая функция, интегрирование которой по объему даст сумму всех зарядов в системе:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.52)

Как известно, движущиеся заряды создают ток. Если рассматривать ток, создаваемый за счет движения всего объема как целого, то трехмерной «плотностью тока» называется произведение плотности заряда на скорость:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.53)

Определим четырехмерную плотность тока или «четырехмерный вектор тока» по следующей формуле:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.54)

Полный заряд, находящийся во всем пространстве  (2.4.52) , теперь можно получить в четырехмерном виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.55)

где интегрирование ведется по всей четырехмерной поверхности, перпендикулярной оси времени.

Найдем выражение для действия зараженной частицы и поля через четырехмерный вектор тока. Для этого воспользуемся формулой  (2.4.48) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.56)

Во втором слагаемом стоит суммирование по точечным зарядам. Заменим это суммирование интегрированием по объему с помощью определения  (2.4.49) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.57)

Дифференциал от четырехмерного радиус-вектора заменим, воспользовавшись определением  (2.4.54) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.58)

Подставим  (2.4.57)  и  (2.4.58)  в формулу  (2.4.56)  и получим окончательно для действия, выражение через четырехмерные вектора и тензоры:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.59)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление