Основы теоретической физики/Уравнение непрерывности

2.4.8. Уравнение непрерывности

править

Рассмотрим замкнутый объем V, ограниченный поверхностью f. Пусть заряженные частицы могут входить, двигаться внутри и могут покидать этот объем через его поверхность.

 

Изменение заряда внутри данного объема за бесконечно малый отрезок времени можно найти по формуле:

  формулы (2.4.60)


Если заряд увеличился за данное время, то изменение  (2.4.60) 

– положительно, если заряд уменьшился, то изменение будет отрицательным.

С другой стороны, это же самое изменение заряда можно найти как количество зарядов, прошедших через поверхность f за бесконечно малый отрезок времени:

  формулы (2.4.61)


Формула  (2.4.61) 

дает количество зарядов, прошедшее через бесконечно малый элемент поверхности за время dt. Чтобы найти полное изменение, нужно взять интеграл по замкнутой поверхности:
  формулы (2.4.62)


Вектор в формуле  (2.4.62) 

представляет из себя единичный вектор нормали к поверхности, направленный наружу от рассматриваемого объема. Таким образом, если заряд уменьшается, то интеграл  (2.4.62) 
– положительный (скорости зарядов совпадают с вектором нормали).

Сравнивая  (2.4.62) 

и  (2.4.60) 

, получаем уравнение, которое называется «уравнением непрерывности»:

  формулы (2.4.63)


Данное уравнение представляет собой фундаментальный закон сохранения заряда, выраженный в интегральном виде: в любой замкнутой системе полный заряд всех частиц остается постоянным.

Уравнение непрерывности часто встречается в прикладных задачах, поэтому полезно вывести для него несколько других формул. Например, подставляя в  (2.4.63) 

определение  (2.4.53) 

, получим уравнение непрерывности с плотностью тока:

  формулы (2.4.64)


Запишем это же уравнение в дифференциальном виде. Для этого применим к правой части  (2.4.64) 

теорему Гаусса:
  формулы (2.4.65)


Подставляя  (2.4.65) 

в  (2.4.64) 

, получим уравнение непрерывности в дифференциальном виде:

  формулы (2.4.66)


Если воспользоваться определением четырехмерного вектора тока  (2.4.54)  , то из  (2.4.66) 

можно также получить уравнение непрерывности в четырехмерной форме: 
  формулы (2.4.67)


Величина в левой части  (2.4.67) 

называется 4-дивергенцией 4-вектора тока. Сравнивая  (2.4.67) 
с четырехмерной формой записи полного заряда  (2.4.55) 

, можно сделать вывод о том, что если справедлив закон сохранения заряда, то равенство нулю 4-дивергенции означает, что должен сохраняться соответствующий интеграл по поверхности.

  формулы (2.4.68)


См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править