Основы теоретической физики/Уравнение непрерывности
2.4.8. Уравнение непрерывностиПравить
Рассмотрим замкнутый объем V, ограниченный поверхностью f. Пусть заряженные частицы могут входить, двигаться внутри и могут покидать этот объем через его поверхность.
Изменение заряда внутри данного объема за бесконечно малый отрезок времени можно найти по формуле:
Если заряд увеличился за данное время, то изменение (2.4.60) – положительно, если заряд уменьшился, то изменение будет отрицательным.
С другой стороны, это же самое изменение заряда можно найти как количество зарядов, прошедших через поверхность f за бесконечно малый отрезок времени:
Формула (2.4.61) дает количество зарядов, прошедшее через бесконечно малый элемент поверхности за время dt. Чтобы найти полное изменение, нужно взять интеграл по замкнутой поверхности:
Вектор в формуле (2.4.62) представляет из себя единичный вектор нормали к поверхности, направленный наружу от рассматриваемого объема. Таким образом, если заряд уменьшается, то интеграл (2.4.62) – положительный (скорости зарядов совпадают с вектором нормали).
Сравнивая (2.4.62) и (2.4.60) , получаем уравнение, которое называется «уравнением непрерывности»:
Данное уравнение представляет собой фундаментальный закон сохранения заряда, выраженный в интегральном виде: в любой замкнутой системе полный заряд всех частиц остается постоянным.
Уравнение непрерывности часто встречается в прикладных задачах, поэтому полезно вывести для него несколько других формул. Например, подставляя в (2.4.63) определение (2.4.53) , получим уравнение непрерывности с плотностью тока:
Запишем это же уравнение в дифференциальном виде. Для этого применим к правой части (2.4.64) теорему Гаусса:
Подставляя (2.4.65) в (2.4.64) , получим уравнение непрерывности в дифференциальном виде:
Если воспользоваться определением четырехмерного вектора тока (2.4.54) , то из (2.4.66) можно также получить уравнение непрерывности в четырехмерной форме:
Величина в левой части (2.4.67) называется 4-дивергенцией 4-вектора тока. Сравнивая (2.4.67) с четырехмерной формой записи полного заряда (2.4.55) , можно сделать вывод о том, что если справедлив закон сохранения заряда, то равенство нулю 4-дивергенции означает, что должен сохраняться соответствующий интеграл по поверхности.