Основы теоретической физики/Уравнение непрерывности

2.4.8. Уравнение непрерывности

Рассмотрим замкнутый объем V, ограниченный поверхностью f. Пусть заряженные частицы могут входить, двигаться внутри и могут покидать этот объем через его поверхность.

Изменение заряда внутри данного объема за бесконечно малый отрезок времени можно найти по формуле:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.60)

Если заряд увеличился за данное время, то изменение  (2.4.60)  – положительно, если заряд уменьшился, то изменение будет отрицательным.

С другой стороны, это же самое изменение заряда можно найти как количество зарядов, прошедших через поверхность f за бесконечно малый отрезок времени:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.61)

Формула  (2.4.61)  дает количество зарядов, прошедшее через бесконечно малый элемент поверхности за время dt. Чтобы найти полное изменение, нужно взять интеграл по замкнутой поверхности:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.62)

Вектор в формуле  (2.4.62)  представляет из себя единичный вектор нормали к поверхности, направленный наружу от рассматриваемого объема. Таким образом, если заряд уменьшается, то интеграл  (2.4.62)  – положительный (скорости зарядов совпадают с вектором нормали).

Сравнивая  (2.4.62)  и  (2.4.60) , получаем уравнение, которое называется «уравнением непрерывности»:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.63)

Данное уравнение представляет собой фундаментальный закон сохранения заряда, выраженный в интегральном виде: в любой замкнутой системе полный заряд всех частиц остается постоянным.

Уравнение непрерывности часто встречается в прикладных задачах, поэтому полезно вывести для него несколько других формул. Например, подставляя в  (2.4.63)  определение  (2.4.53) , получим уравнение непрерывности с плотностью тока:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.64)

Запишем это же уравнение в дифференциальном виде. Для этого применим к правой части  (2.4.64)  теорему Гаусса:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.65)

Подставляя  (2.4.65)  в  (2.4.64) , получим уравнение непрерывности в дифференциальном виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.66)

Если воспользоваться определением четырехмерного вектора тока  (2.4.54) , то из  (2.4.66)  можно также получить уравнение непрерывности в четырехмерной форме:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.67)

Величина в левой части  (2.4.67)  называется 4-дивергенцией 4-вектора тока. Сравнивая  (2.4.67)  с четырехмерной формой записи полного заряда  (2.4.55) , можно сделать вывод о том, что если справедлив закон сохранения заряда, то равенство нулю 4-дивергенции означает, что должен сохраняться соответствующий интеграл по поверхности.

$Undefined~formula$ формулы (2.4.68)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление