Основы теоретической физики/Вторая пара уравнений Максвелла
2.4.9. Вторая пара уравнений Максвелла
правитьНайдем вариацию действия (2.4.59) :
Согласно принципу наименьшего действия, вариация (2.4.69) должна равняться нулю. При этом первое слагаемое в (2.4.69) представляет собой действие свободной частицы в отсутствии поля, а второе и третье слагаемые – это действия, связанные с наличием электромагнитного поля.
Чтобы найти независимые от траекторий частиц уравнения электромагнитного поля, будем считать траектории известными. Тогда вариация по траекториям будет равна нулю:
Точно заданные траектории также приводят к тому, что точно заданными будут и токи. То есть вариация токов тоже рана нулю:
Подставим (2.4.70) и (2.4.71) в (2.4.69) и воспользуемся общими свойствами немых индексов у тензоров:
Подставим в (2.4.72) определение тензора электромагнитного поля (2.4.31) и воспользуемся антисимметричностью этого тензора, тогда для вариации действия получим:
Второй интеграл в (2.4.73) теперь возьмем по частям. Для этого сделаем следующую замену переменных:
Подставим (2.4.74) во второй интеграл формулы (2.4.73) :
Первое слагаемое в (2.4.75) можно упростить, применив теорему Гаусса для четырехмерного пространства:
Интеграл (2.4.76) берется по четырехмерной поверхности , которая охватывает бесконечный четырехмерный объем . Любое физическое поле, в бесконечности стремится к нулю, значит поле на поверхности Si должно быть равно нулю, следовательно и интеграл (2.4.76) тоже равен нулю.
Таким образом, первое слагаемое в (2.4.75) равно нулю и подставляя второе слагаемое в (2.4.73) получим следующее выражение для вариации действия:
Переобозначая в (2.4.77) индексы суммирования и вынося за скобки общие множители, получим:
Уравнение (2.4.78) представляет собой четырехмерную форму записи уравнений электромагнитного поля. Для того, чтобы получить трехмерный вид этих уравнений, нужно расписать тензор F и вектора X, J, по компонентам в трехмерном виде. Получим четыре уравнения для индексов i = 0, 1, 2, 3:
Подставляя в (2.4.79) соответствующие значения составляющих тензора электромагнитного поля, получим вторую пару уравнений Максвелла:
Уравнения (2.4.33) и (2.4.80) являются основными уравнениями электродинамики. Легко получить уравнения (2.4.80) в интегральной форме, взяв интеграл по объему и применив теорему Гаусса:
Поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью.
Аналогично, взяв интеграл по поверхности и применив теорему Стокса, получим:
Первое слагаемое в подынтегральном выражении правой части (2.4.82) , называют «током смещения». Другими словами, уравнение (2.4.82) показывает, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
Легко заметить, что из уравнений (2.4.80) можно получить уравнение непрерывности (2.4.63) , которое ранее мы вывели лишь из общих соображений. Действительно, если взять дивергенцию от правой и левой части (2.4.80) , то получим:
См. также
правитьПримечания
править