Основы теоретической физики/Тензор электромагнитного поля

2.4.4. Тензор электромагнитного поля

править

Уравнение электромагнитного поля можно получить в четырехмерном виде из принципа наименьшего действия и с помощью четырехмерных формул для интервала и потенциала поля. Принцип наименьшего действия запишем из  (2.4.5) 

  формулы (2.4.22)


Проведем варьирование каждого слагаемого правой части  (2.4.22) 

  формулы (2.4.23)


Проинтегрируем по частям подчеркнутые в  (2.4.23) 

слагаемые:
  формулы (2.4.24)


Если начальные и конечные точки траектории (мировой линии) точно заданы в  (2.4.22)  , тогда вариации 4-вектора координат в этих точках равны нулю:

  формулы (2.4.25)


Подставим  (2.4.25) 

в  (2.4.24) 

, а затем в  (2.4.23) 

  формулы (2.4.26)


Подставим  (2.4.26) 

в  (2.4.22) 
и получим для вариации действия:
  формулы (2.4.27)


Перепишем вариацию и полный дифференциал 4-потенциала поля через сумму частных производных, а от дифференциала 4-вектора координаты перейдем к 4-скорости:

  формулы (2.4.28)


Подставим  (2.4.28) 

в  (2.4.27) 
  формулы (2.4.29)


Во втором интеграле можно переименовать немые индексы и тогда после дополнительной группировки получим:

  формулы (2.4.30)


По определению, «тензором электромагнитного поля» называют совокупность величин, которые находятся по формуле:

  формулы (2.4.31)


Окончательно, четырехмерное уравнение движения свободной заряженной частицы в электромагнитном поле можно записать, подставив  (2.4.31) 

в  (2.4.30) 
  формулы (2.4.32)


См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править