Основы теоретической физики/Тензор электромагнитного поля
2.4.4. Тензор электромагнитного поля
правитьУравнение электромагнитного поля можно получить в четырехмерном виде из принципа наименьшего действия и с помощью четырехмерных формул для интервала и потенциала поля. Принцип наименьшего действия запишем из (2.4.5)
Проведем варьирование каждого слагаемого правой части (2.4.22)
Проинтегрируем по частям подчеркнутые в (2.4.23)
слагаемые:
Если начальные и конечные точки траектории (мировой линии) точно заданы в (2.4.22)
, тогда вариации 4-вектора координат в этих точках равны нулю:
Подставим (2.4.25)
в (2.4.24)
, а затем в (2.4.23)
Подставим (2.4.26)
в (2.4.22)
и получим для вариации действия:
Перепишем вариацию и полный дифференциал 4-потенциала поля через сумму частных производных, а от дифференциала 4-вектора координаты перейдем к 4-скорости:
Подставим (2.4.28)
в (2.4.27)
Во втором интеграле можно переименовать немые индексы и тогда после дополнительной группировки получим:
По определению, «тензором электромагнитного поля» называют совокупность величин, которые находятся по формуле:
Окончательно, четырехмерное уравнение движения свободной заряженной частицы в электромагнитном поле можно записать, подставив (2.4.31)
в (2.4.30)