Основы теоретической физики/Уравнение движения заряда в поле
2.4.3. Уравнение движения заряда в поле
правитьЗная функцию Лагранжа (2.4.7) , можно записать уравнения движения для одной или нескольких заряженных частиц в электромагнитном поле.
В левой части (2.4.8) стоит обобщенная сила, которая находится как производная по времени от обобщенного импульса. Найдем этот импульс:
В правой части (2.4.8) стоит градиент функции Лагранжа:
Воспользуемся общими математическими свойствами градиента и ротора:
Объединяя (2.4.10) и (2.4.11) , получим:
Подставляя (2.4.12) в (2.4.10) , окончательно для градиента получаем:
Подставим (2.4.9) и (2.4.13) в уравнение движения (2.4.8) :
Полную производную от векторного потенциала по времени в левой части (2.4.14) можно расписать через сумму частных производных:
Подставляя (2.4.15) в (2.4.14) , получим окончательное уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле:
В левой части (2.4.16) стоит производная импульса по времени, значит правая часть представляет собой силу, действующую на заряд в электромагнитном поле. Как видно, эта сила состоит из двух частей: одна часть зависит от скорости, а другая не зависит. По определению, независящая от скорости сила, действующая на элементарный заряд, называется «напряженностью электрического поля». Из определения понятно, что напряженность электрического поля находится по формуле:
Пропорциональное скорости слагаемое в (2.4.16) это сила, вектор которой перпендикулярен скорости. По определению, «напряженностью магнитного поля» называется ротор от векторного потенциала:
Для электромагнитных полей различают два частных случая:
1. Поле называется электрическим если для напряженностей выполняется: .
2. Поле называется магнитным если
В общем случае электромагнитное поле является суперпозицией (наложением) электрической и магнитной составляющей.
Используя обозначения (2.4.17) и (2.4.18) , уравнение движения заряда (2.4.16) можно переписать в виде:
Или для малых скоростей:
Стоящая справа в (2.4.19) и (2.4.20) сила называется «силой Лоренца». Эта сила состоит из двух частей, одна из которых не зависит от скорости и со-направлена с напряженностью электрического поля, вторая часть зависит от скорости и перпендикулярна напряженности магнитного поля.
Найдем работу, производимую полем над свободной частицей за единицу времени (мощность электромагнитного поля):
См. также
правитьПримечания
править