Основы теоретической физики/Уравнение движения заряда в поле

2.4.3. Уравнение движения заряда в поле

Зная функцию Лагранжа  (2.4.7)  , можно записать уравнения движения для одной или нескольких заряженных частиц в электромагнитном поле.

$Undefined~formula$ формулы (2.4.8)

В левой части  (2.4.8) 

стоит обобщенная сила, которая находится как производная по времени от обобщенного импульса. Найдем этот импульс:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.9)

В правой части  (2.4.8) 

стоит градиент функции Лагранжа:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.10)

Воспользуемся общими математическими свойствами градиента и ротора:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.11)

Объединяя  (2.4.10) 

и  (2.4.11) 

, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.12)

Подставляя  (2.4.12) 

в  (2.4.10) 

, окончательно для градиента получаем:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.13)

Подставим  (2.4.9) 

и  (2.4.13) 
в уравнение движения  (2.4.8) 

$Undefined~formula$ формулы (2.4.14)

Полную производную от векторного потенциала по времени в левой части  (2.4.14) 

можно расписать через сумму частных производных:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.15)

Подставляя  (2.4.15) 

в  (2.4.14) 

, получим окончательное уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.16)

В левой части  (2.4.16) 

стоит производная импульса по времени, значит правая часть представляет собой силу, действующую на заряд в электромагнитном поле. Как видно, эта сила состоит из двух частей: одна часть зависит от скорости, а другая не зависит. По определению, независящая от скорости сила, действующая на элементарный заряд, называется «напряженностью электрического поля». Из определения понятно, что напряженность электрического поля находится по формуле:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.17)

Пропорциональное скорости слагаемое в  (2.4.16) 

это сила, вектор которой перпендикулярен скорости. По определению, «напряженностью магнитного поля» называется ротор от векторного потенциала:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.18)

Для электромагнитных полей различают два частных случая:

1. Поле называется электрическим если для напряженностей выполняется:${\overrightarrow {E}}\neq 0;{\overrightarrow {H}}=0$.

2. Поле называется магнитным если ${\overrightarrow {E}}=0;{\overrightarrow {H}}\neq 0$

В общем случае электромагнитное поле является суперпозицией (наложением) электрической и магнитной составляющей.

Используя обозначения  (2.4.17) 

и  (2.4.18) 

, уравнение движения заряда (2.4.16) можно переписать в виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.19)

Или для малых скоростей:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.20)

Стоящая справа в  (2.4.19) 

и  (2.4.20) 
сила называется «силой Лоренца». Эта сила состоит из двух частей, одна из которых не зависит от скорости и со-направлена с напряженностью электрического поля, вторая часть зависит от скорости и перпендикулярна напряженности магнитного поля.

Найдем работу, производимую полем над свободной частицей за единицу времени (мощность электромагнитного поля):

$Undefined~formula$ формулы (2.4.21)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление