Основы теоретической физики/Четырёхмерный потенциал поля
2.4.2. Четырёхмерный потенциал поля
правитьЭкспериментально установлено, что энергия частицы в электромагнитном поле, пропорциональна электрическому заряду этой частицы q, а также пропорциональна некоторой функции координат и времени, которую называют «потенциалом». Также известно, что любой электрический заряд пропорционален элементарному заряду, равному заряду электрона e. Поэтому энергию заряженной частицы в бесконечно малом электромагнитном поле можно записать следующим образом:
В правой части (2.4.1) стоит функция координат и времени, поэтому для потенциала удобно использовать запись через скалярное произведение двух 4-векторов:
Четырехмерный вектор Ai – называется «4-потенциал поля». Этот вектор можно расписать по компонентам:
При такой записи 4-потенциал разделяется на «скалярный потенциал» и «векторный потенциал» поля . Заметим из (2.4.2) , что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени.
Заметим также, что входящая в (2.4.2) функция - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала (2.4.3) можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции можно прибавить произвольную функцию от координат , это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента .
Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем:
В формуле (2.4.4) действие Smf – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам: . В таком случае полное действие запишется формулой:
Через скалярный и векторный потенциалы формула (2.4.5) может быть записана в трехмерном виде:
Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в (2.4.6) к интегрированию по времени, получим:
Формула (2.4.7) определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.
См. также
правитьПримечания
править