Основы теоретической физики/Четырёхмерный потенциал поля

2.4.2. Четырёхмерный потенциал поляПравить

Экспериментально установлено, что энергия частицы в электромагнитном поле, пропорциональна электрическому заряду этой частицы q, а также пропорциональна некоторой функции координат и времени, которую называют «потенциалом». Также известно, что любой электрический заряд пропорционален элементарному заряду, равному заряду электрона e. Поэтому энергию заряженной частицы в бесконечно малом электромагнитном поле можно записать следующим образом:

  формулы (2.4.1)

В правой части (2.4.1)  стоит функция координат и времени, поэтому для потенциала удобно использовать запись через скалярное произведение двух 4-векторов:

  формулы (2.4.2)

Четырехмерный вектор Ai – называется «4-потенциал поля». Этот вектор можно расписать по компонентам:

  формулы (2.4.3)

При такой записи 4-потенциал разделяется на «скалярный потенциал»   и «векторный потенциал» поля  . Заметим из (2.4.2)  , что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени.

Заметим также, что входящая в (2.4.2)  функция   - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала (2.4.3)  можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции   можно прибавить произвольную функцию от координат  , это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента  .

Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем:

  формулы (2.4.4)

В формуле (2.4.4)  действие Smf – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам:  . В таком случае полное действие запишется формулой:

  формулы (2.4.5)

Через скалярный и векторный потенциалы формула (2.4.5)  может быть записана в трехмерном виде:

  формулы (2.4.6)

Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в (2.4.6)  к интегрированию по времени, получим:

  формулы (2.4.7)

Формула (2.4.7)  определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить