Основы теоретической физики/Волновое уравнение

2.4.12. Волновое уравнение

Электромагнитное поле в пустом пространстве определяется уравнениями Максвелла, в которых плотность заряда и плотность тока должны быть равны нулю:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.105)

Эти уравнения могут иметь ненулевые решения, значит электромагнитное поле может существовать при отсутствии зарядов в пространстве, при условии, что это поле явно зависит от времени. Действительно, если ${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0$, то уравнения  (2.4.105)  приобретают вид уравнений для электростатического поля, которые при отсутствии зарядов дадут нулевые решения.

Зависящие от времени электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называются «электромагнитными волнами». Чтобы вывести уравнение для потенциала электромагнитных волн, воспользуемся тем, что в  (2.4.2)  4-потенциал определен не однозначно. То есть можно накладывать на функции потенциалов произвольные дополнительные условия, не изменяя их физического смысла. Поэтому будем полагать, что скалярный потенциал не зависит явно от времени, тогда из  (2.4.2) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.106)

Подставляя  (2.4.106)  в  (2.4.17) , получаем для напряженности электрического поля:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.107)

Подставляя  (2.4.107)  и  (2.4.18)  в  (2.4.105) , получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.108)

Заметим также, что если подставить  (2.4.107)  в  (2.4.105) , то для векторного потенциала можно получить:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.109)

Выражение  (2.4.109)  показывает, что дивергенция векторного потенциала не зависит явно от времени.

Теперь воспользуемся тем, что векторный потенциал ${\overrightarrow {A}}$, определен с точностью до прибавления к нему градиента любой, независящей от времени функции $\nabla k({\vec {r}})$. В силу произвольности выбора, дивергенцию от векторного потенциала можно обратить в нуль:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.110)

Подставляя  (2.4.110)  в  (2.4.108)  и делая замену переменных, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.111)

Выражение  (2.4.111)  – это дифференциальное уравнение, решением которого является векторный потенциал электромагнитных волн. Оно называется «уравнением д’Ламбера» или «волновое уравнение».

В четырехмерном виде можно получить более общее уравнение. Для вывода запишем вторую пару уравнений Максвелла при отсутствии зарядов через тензор электромагнитного поля из  (2.4.78) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.112)

Подставим в  (2.4.112)  компоненты тензора F^ik, выраженные через 4-потенциал поля  (2.4.38) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.113)

Наложим теперь на 4-потенциал поля дополнительное условие, которое называется «Лоренцевой калибровкой»:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.114)

Легко заметить, что в трехмерной форме, условие  (2.4.114)  запишется в виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.115)

Условие  (2.4.115)  является более общим, чем использованные ранее условия  (2.4.106)  и  (2.4.110) . Условие Лоренца  (2.4.114) ,  (2.4.115)  имеет релятивистски инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, будут удовлетворять этому условию и в любой другой системе отсчета тоже.

Подставляя  (2.4.114)  в  (2.4.113) , получаем уравнение:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.116)

Формула  (2.4.116)  – это волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление