Основы теоретической физики/Принцип наименьшего действия

1.1.2. Принцип наименьшего действия

Ещё античные философы замечали, что в природе существует некий универсальный закон, которому подчиняется любое движение (действие). Аристотель сформулировал этот закон (принцип) так: «Природа ничего не делает напрасно и всегда выбирает кратчайший или легчайший путь». Самым известным и наглядным воплощением этого принципа может служить закон отражения света, который сформулировал Птолемей: «угол падения света равен углу отражения и общий путь света при этом минимален».

Долгое время оставалось непонятным, что из себя представляет действие с математической точки зрения. В 1744 году Леонард Эйлер предложил определять действие как произведение импульса на перемещение:

$dS={\overrightarrow {p}}d{\overrightarrow {l}}=m{\overrightarrow {v}}d{\overrightarrow {l}}$ (1.1.6)

С помощью такого определения действия, Эйлеру удалось вывести многие законы движения, которые до этого были лишь эмпирическими постулатами.

Современное определение действия ввел в обращение в 1834-1835 годах ирландский физик и математик Уильям Роуэн Гамильтон. Согласно сформулированному выше постулату  (1.1.5) , любую механическую систему можно описать функцией, которая зависит только от координат, скоростей и времени. Для s степеней свободы в обобщенных координатах это будет функция вида:

$L\left(q_{1},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{s},t\right)$ (1.1.7)

Обычно принято сокращать запись, объединяя в формулах все компоненты координат и компоненты скоростей:

$L\left(q_{1},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{s},t\right)=L\left(q,{\dot {q}},t\right)$ (1.1.8)

Опыт показывает, что для функции   (1.1.8)   существует общий принцип (постулат), который справедлив для любых механических систем: «принцип наименьшего действия». Данный принцип можно сформулировать следующим образом: если в моменты времени $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$ , механическая система может характеризоваться двумя наборами координат:

$q^{(1)}=q\left(t_{1}\right){\text{ и }}q^{(2)}=q\left(t_{2}\right)$ (1.1.9)

Тогда траектория движения системы должна быть такой, чтобы интеграл:

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L\left(q,{\dot {q}},t\right)dt$ (1.1.10)

имел минимальное возможное значение. В формуле   (1.1.10)   функция L называется «функцией Лагранжа», S – интеграл действия или просто «действие». Сформулированный принцип наименьшего действия является основным, самым общим, постулатом механики. С помощью этого принципа можно получить уравнения, описывающие законы движения различных механических систем. Для упрощения записи формул ограничимся сначала рассмотрением систем с одной степенью свободы.

Путь минимум интеграла   (1.1.10)   достигается если тело движется по траектории, описываемой уравнением:

$q=q\left(t\right)$ (1.1.11)

Это значит, что действие S возрастает при замене траектории   (1.1.11)   на любую другую функцию вида:

$q{\acute {}}=q\left(t\right)+\delta q\left(t\right)$ (1.1.12)

В выражении   (1.1.12)   второе слагаемое – это функция $\delta q(t)$, которую будем считать бесконечно мало отличающейся от функции $q(t)$ на всем интервале времени от $t_{1}$ до $t_{2}$ . Такие, бесконечно малые функции, в математике называются «вариацией».

Понятия вариации и функционала изучаются в разделе математики который носит название: «вариационное исчисление». Вариационные задачи известны еще с античных времен, но систематическое изложение этого раздела математики началось лишь в XVIII веке. Для понимания области применения вариационного исчисления можно привести пару примеров простейших вариационных задач:

1. Из всех фигур с заданным периметром найти ту, которая имеет наибольшую площадь. Ответ: круг.
2. Из всех фигур с заданной площадью поверхности найти ту, которая имеет наибольший объем. Ответ: шар.

Именно развитие вариационного исчисления помогло сформулировать принцип наименьшего действия в общем виде, а также вывести из этого принципа основные законы движения.

Если не вдаваться, однако, в математические подробности, то можно обойтись лишь знанием о том, что у вариации и дифференциала очень много общего. Для дальнейших выводов формул мы будем с вариацией проделывать в точности такие же математические операции, как если бы это был дифференциал.

Учитывая вышесказанное, мы можем записать принцип наименьшего действия математически, как равенство нулю вариации интеграла действия:

$\delta S=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt=0$ (1.1.13)

Траектория движения системы должна быть такой, чтобы вариация действия равнялась нулю. Другими словами, в механике постулируется, что любое тело может двигаться по единственной траектории, такой, чтобы равнялась нулю вариация действия.

Рис.1.1. Классический принцип наименьшего действия

Проделаем теперь с вариацией действия   (1.1.13)   математические операции аналогичные тем, какие обычно проводят с дифференциалом: внесем вариацию под знак интеграла, затем проварьируем функцию Лагранжа по всем переменным (пользуемся теми же правилами, какие относятся к дифференцированию функции многих переменных):

${\begin{array}{c}\displaystyle \delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L(q,{\dot {q}},t)dt\\\displaystyle \delta L(q,{\dot {q}},t)={\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t\end{array}}$ (1.1.14)

Для простоты будем полагать, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, тогда:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\\displaystyle \delta L(q,{\dot {q}},t)={\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\end{array}}$ (1.1.15)

Подставим   (1.1.15)  в   (1.1.13)  :

$\delta S=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\underline {\delta {\dot {q}}}}\right)dt=0$ (1.1.16)

Преобразуем вариацию скорости:

${\underline {\delta {\dot {q}}}}=\delta {\frac {dq}{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta q$ (1.1.17)

Подставим   (1.1.17)   в   (1.1.16)   и проинтегрируем второе слагаемое в полученном выражении по частям:

${\begin{array}{c}0=\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta q\right)dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta qdt+{\underline {\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d(\delta q)}}\\\displaystyle {\underline {\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d(\delta q)}}=\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right\vert _{t_{1}}^{t_{2}}-{\underline {\underline {\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\delta qd}}}\end{array}}$ (1.1.18)

По условию, которое мы сами определили, в начальной и конечной точках траектории, функция   (1.1.11)   имеет строго определённые значения   (1.1.9)  . Значит в начальной и конечной точках вариация равна нулю:

$\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$ (1.1.19)

Подставим   (1.1.19)   в   (1.1.18)  :

${\begin{array}{c}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q{\bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\underset {=0}{\underbrace {\delta q(t_{2})} }}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\underset {=0}{\underbrace {\delta q(t_{2})} }}=0\\{\underline {\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d(\delta q)}}={\underline {\underline {-\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\delta qd\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)}}}\end{array}}$ (1.1.20)

Подставим теперь   (1.1.20)   в   (1.1.18)  :

$0=\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta q\right)dt=\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta qdt-\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\delta qd\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)$ (1.1.21)

Внесём оба слагаемых в правой части   (1.1.22)   под один знак интеграла, получим выражение:

$\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt=0$ (1.1.22)

) Таким образом, приравнивая к нулю подынтегральное выражение в   (1.1.22)  , для механической системы с одной степенью свободы получаем:

${\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0$ (1.1.23)

Аналогичное выражение можно получить и для функции Лагранжа систем с s степенями свободы:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}(i=1,2,3,...,s)$ (1.1.24)

Полученные уравнения   (1.1.24)  , в механике называют «Уравнениями Лагранжа». Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения   (1.1.24)   устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами. То есть и представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения имеем s дифференциальных уравнений второго порядка, общее решение которых зависит от 2s произвольных постоянных. Для определения этих постоянных надо знать начальные условия. Например, начальные значения всех координат и скоростей.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление