Основы теоретической физики/Введение и основные определения

1.1.1. Введение и основные определения

Механика — это раздел физики, посвященный изучению законов движения. Классической принято называть механику, в которой изучается движение тел со скоростями много меньшими скорости света, с достаточно большой массой и большим размером. Другими словами, в классической механике изучаются «привычные», окружающие нас физические объекты, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни или можем наблюдать в простых экспериментах.

Одним из основных понятий классической механики является определение «материальной точки». Материальная точка — тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Нужно понимать, что хотя приближение к материальной точке существенно упрощает вид законов движения, рассматривать тело как материальную точку можно далеко не во всех прикладных задачах.

Положение материальной точки в пространстве определяется «радиус вектором». В декартовых координатах радиус-вектор находится по формуле:

${\overrightarrow {r}}=x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}$ (1.1.1)

Производная радиус-вектора по времени называется «скоростью»:

${\overrightarrow {V}}={\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}$ (1.1.2)

Вторая производная радиус-вектора по времени называется «ускорением»

${\overrightarrow {a}}={\frac {d^{2}{\overrightarrow {r}}}{dt^{2}}}$ (1.1.3)

Для компактности, в механике принято обозначать производные по времени точками. То есть  (1.1.2)  и  (1.1.3)  можно переписать в следующих обозначениях:

${\begin{matrix}{\overrightarrow {V}}={\dot {\overrightarrow {r}}}\\{\overrightarrow {a}}={\ddot {\overrightarrow {r}}}\end{matrix}}$ (1.1.4)

Если нужно определить законы движения не одной, а нескольких (N) материальных точек, то у N радиус-векторов будет 3N декартовых координат. В общем случае, число независимых величин, знание которых необходимо для однозначного определения законов движения системы, называют «числом степеней свободы».

Часто в задачах механики, декартовы координаты радиус векторов неудобно применять из-за особенностей симметрии. Для того, чтобы конечные формулы приобретали менее громоздкий вид, применяют различные «криволинейные» (полярные, цилиндрические, сферические и т.п.) координаты. Любые s величин, $q_{1},q_{2},{\text{...}},q_{s}$, которые полностью характеризуют положение системы с s степенями свободы, называют «обобщенными координатами», а производные ${\dot {q}}_{i}$ - называют «обобщенными скоростями» системы.

Опыт показывает, что знание обобщенных координат, не позволяет узнать «механическое состояние системы». То есть невозможно предсказать положение системы в произвольные момент времени если знать только начальные значения координат. В самом деле: при известных начальных координатах, материальные точки могут обладать произвольными скоростями, а в зависимости от скоростей, будут различные и положения системы в каждый момент времени. То есть кроме начальных координат, нужно знать еще и скорости.

Может показаться, что то же самое можно сказать и про ускорения: если знать координаты и скорости, то в системе еще могут быть и разные ускорения, которые тоже нужно знать… Такую цепочку рассуждений можно было бы продолжать до бесконечности, однако в классической механике существует следующий постулат: одновременное задание всех координат и скоростей, полностью определяет состояние системы и позволяет предсказать ее дальнейшее движение.

Другими словами, с математической точки зрения, основной постулат классической механики можно сформулировать так: задание всех координат $q_{i}$ и скоростей ${\dot {q}}_{i}$ в некоторый момент времени, полностью определяет и значения ускорений в этот момент времени.

${\ddot {q_{i}}}=f(q,{\dot {q_{i}}})$ (1.1.5)

Соотношение  (1.1.5)  называется «уравнением движения». Как видно, в общем случае, уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, интегрирование (решение) уравнения   (1.1.5)   даст функцию $q_{i}(t)$, которая называется «траекторией материальной точки».

См. также

Далее>>
Оглавление