Основы теоретической физики/Одномерное движение
1.4.1. Одномерное движение
правитьПо определению, одномерным называют движение с одной степенью свободы. Функцию Лагранжа системы с одной степенью свободы, запишем пользуясь общей формулой (1.1.51) :
Или для декартовых координат можно записать:
Подставим функцию (1.4.2) в уравнения движения (1.1.24) . Для одной степени свободы получаем:
Чтобы найти теперь траекторию, нужно решить уравнение (1.4.3) . Для решения нужно знать конкретный вид потенциальной энергии U(x). Если эта функция не известна, то в общем виде траекторию и время движения удобней искать с помощью закона сохранения энергии:
Найдем теперь из (1.4.4) в общем виде траекторию и время движения:
В формуле (1.4.5) подкоренное выражение должно быть больше нуля. Физически это означает, что движение возможно только если кинетическая энергия больше нуля:
Области энергий, при которых возможно или невозможно движение, можно изобразить на графике зависимости U(x).
Движение системы с полной энергией E, может происходить только в области или в области , на графике. В точках, где кинетической энергии нет, а значит скорость равна нулю, потенциальная энергия равна полной , такие точки называются «границами движения» или «точками остановки».
Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит в ограниченной области пространства. Такое движение называют «финитным».
Если область движения не ограничена или ограничена с одной стороны, то движение называется «инфинитным». При таком движении траектория частицы уходит в бесконечность.
Одномерное финитное движение является колебательным: частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами. Область, в которой совершается такое движение (на рисунке это область ), называется «потенциальной ямой».
Поскольку время изотропно, то время движения от до , должно быть равно времени движения от до . Поэтому, в общем случае, период колебаний можно найти как удвоенное время прохождения отрезка, равного «ширине» потенциальной ямы:
Формула (1.4.7) , определяет период финитного движения в зависимости от полной энергии. Пределы интегрирования ; – это корни уравнения .
См. также
правитьПримечания
править