Основы теоретической физики/Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

1.4.2. Определение потенциальной энергии по периоду колебанийПравить

На практике, полную энергию и период колебаний одномерной системы, можно определить экспериментально. Рассмотрим, как можно получить вид потенциальной энергии U(x), если известна зависимость T(E). Математически, сформулированная задача сводится к решению интегрального уравнения   (1.4.7)  , в котором известна левая часть.

Будем решать поставленную задачу для потенциальной ямы с одним минимумом. Выберем систему координат так, чтобы минимум был в нуле.

 
Рис. 1.6

Решать интегральное уравнение   (1.4.7)   будем в несколько этапов. Вначале нужно преобразовать интеграл   (1.4.7)   так, чтобы координата «x» была функцией от потенциальной энергии x(U):

  (1.4.8)

То есть мы будем искать не U(x), а обратную к этой зависимости функцию x(U). При таком преобразовании нужно заметить, что функция x(U) – двузначная. То есть при каждом значении  , величина x(U) – принимает два значения. Поэтому нужно рассматривать два интеграла по областям, где функция x(U) непрерывна и однозначна.

Найдем интеграл   (1.4.7)   как сумму площадей области A0x1 и области B0x2. Это области под кривыми   и  .

  (1.4.9)

В интегралах   (1.4.9)   нас будут интересовать пределы не координат, а энергии:

  (1.4.10)

Умножим обе части выражения   (1.4.10)   на   и проинтегрируем все по энергии:

  (1.4.11)

Правая часть выражения   (1.4.11)   может быть вычислена если поменять порядок интегрирования (пределы интегрирования при этом тоже поменяются):

  (1.4.12)

Подставляя   (1.4.12)   в   (1.4.11)  , получим:

  (1.4.13)

Если теперь переобозначить  , то из   (1.4.13)   получим формулу для вычисления разности  :

  (1.4.14)

То есть по известной функции для периода T(E), можно определить разность  . Однако эта разность не позволяет узнать однозначный вид функции x(U). Другими словами, из полученного решения следует, что существует не одна, а бесконечное множество кривых потенциальных энергий U(x), приводящих к заданной функции периода T(E).

Неоднозначность в решении   (1.4.14)   исчезает, если потребовать симметричности функции U(x) относительно оси «y». В этом частном случае получается:

  (1.4.15)

Как видно, формула   (1.4.15)   дает однозначную функцию зависимости траектории от потенциальной энергии если известна зависимость периода от энергии. Зависимость потенциальной энергии от координаты также будет определяться однозначно как функция, обратная к x(U).

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить