Основы теоретической физики/Приведенная масса

1.4.3. Приведённая масса

Еще одной важной задачей механики, которую можно решить в общем виде, является «задача двух тел». Прежде чем перейти к решению этой задачи покажем, что ее можно существенно упростить если рассматривать движение относительно центра инерции системы.

Запишем функцию Лагранжа системы из двух материальных точек в декартовых координатах:

$L={\frac {m_{1}{\dot {r}}_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}{\dot {r}}_{2}^{2}}{2}}-U\left({\big \vert }{\overrightarrow {r}}_{1}-{\overrightarrow {r}}_{2}{\big \vert }\right)$ (1.4.16)

Если поместить начало координат в центр инерции, то из   (1.2.31)   получим:

${\frac {\sum \limits _{a}{m_{a}{{\overrightarrow {r}}_{a}}}}{\sum \limits _{a}m_{a}}}=0\Rightarrow m_{1}{{\overrightarrow {r}}_{1}}+m_{2}{\overrightarrow {r}}_{2}=0$ (1.4.17)

Если обозначить расстояние между точками ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}_{1}-{\overrightarrow {r}}_{2}$, то с помощью   (1.4.17)  , радиус-векторы точек можно выразить через одну и ту же переменную и подставить полученные выражения в функцию Лагранжа   (1.4.16)  :

$\left.{\begin{aligned}&{{\overrightarrow {r}}_{1}}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\overrightarrow {r}}\\&{{\overrightarrow {r}}_{2}}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\overrightarrow {r}}\\&\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow L={\frac {\mu {{\dot {r}}^{2}}}{2}}-U(r)$ (1.4.18)

Величина $\mu$ в   (1.4.18)  , называется «приведенной массой». Как видно, формула   (1.4.18)   совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой $\mu$, движущейся в поле с потенциальной энергией U(r). Решением уравнения движения будет траектория ${\overrightarrow {r}}(t){\text{,}}$ из которой, по формулам   (1.4.18)  , можно найти траектории каждой точки (${\overrightarrow {r}}_{1}(t)$ и ${\overrightarrow {r}}_{2}(t)$).

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление