Основы теоретической физики/Движение в центральном поле

1.4.4. Движение в центральном поле

Внешнее поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки, называется «центральным полем».

У центральных полей есть два важных свойства:

1. Сила, действующая на материальную точку в центральном поле, зависит только от радиус-вектора ${\overrightarrow {r}}$ и направлена вдоль него в каждой точке.

${\overrightarrow {F}}=-{\frac {\partial U\left(\vert {\overrightarrow {r}}\vert \right)}{\partial {\overrightarrow {r}}}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}{\frac {\overrightarrow {r}}{r}}$ (1.4.19)

2. Траектория движения частицы в центральном поле, лежит в одной плоскости. Это свойство прямо следует из предыдущего.

Поскольку движение происходит в одной плоскости, то функцию Лагранжа удобней рассматривать в полярных координатах. Для одной материальной точки:

$L={\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+r^{2}{{\dot {\varphi }}^{2}}\right)-U(r)$ (1.4.20)

Можно заметить, что в   (1.4.20)   нет зависимости от обобщенной координаты $\varphi$. Всякую обобщенную координату, не входящую в явном виде в функцию Лагранжа, называют «циклической координатой».

Рассмотрим уравнение движения для произвольной циклической координаты $q_{c}$:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{c}}}}={\frac {\partial L}{\partial {q_{c}}}}=0\Rightarrow \underbrace {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{c}}}} _{p_{c}}=const\\&{p_{c}}=const\\\end{aligned}}$ (1.4.21)

То есть из   (1.4.21)   можно сделать вывод: обобщенный импульс, соответствующий циклической координате – сохраняется.

Для случая движения материальной точки в центральном поле, из уравнения движения для циклической координаты $\varphi$, подставляя определение проекции момента импульса   (1.2.41)   получим:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=const\\&{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {\varphi }}}}\left({\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+{r^{2}}{{\dot {\varphi }}^{2}}\right)-U(r)\right)=\underbrace {m{r^{2}}{\dot {\varphi }}} _{M_{z}}=const\\\Downarrow \\\displaystyle {M_{z}}=const\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}$ (1.4.22)

Как видим, проекция момента импульса на ось, совпадающую с направлением центрального поля – сохраняется.

Полученный закон сохранения проекции момента импульса можно продемонстрировать графически. Рассмотрим для этого бесконечно малый отрезок произвольной траектории частицы.

Рис.1.7

Найдем площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории:

$dS={\frac {1}{2}}r\cdot rd\varphi ={\frac {1}{2}}{r^{2}}d\varphi$ (1.4.23)

Если поделить обе части выражения   (1.4.21)   на dt, то получим формулу для «секторальной скорости»:

${\dot {S}}={\frac {1}{2}}{r^{2}}{\dot {\varphi }}$ (1.4.24)

То есть сохранение момента означает и постоянство секторальной скорости:

$2m{\dot {S}}=m{r^{2}}{\dot {\varphi }}={M_{z}}=const\Rightarrow {\dot {S}}=const$ (1.4.25)

Мы получили закон, который называется «Второй закон Кеплера»: в центральном поле, частица движется так, что за равные промежутки времени, радиус-вектор описывает равные площади.

Рассмотрим теперь полную задачу о движении частицы в центральном поле. Удобнее всего эту задачу решать пользуясь законами сохранения энергии и момента импульса, а также определением проекции момента на ось «z» в цилиндрических координатах   (1.2.41)  :

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&E=T+U(r)={\frac {mv^{2}}{2}}+U(r)={\underline {{\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+{r^{2}}{{\dot {\varphi }}^{2}}\right)}}+U(r)\\&m{r^{2}}{\dot {\varphi }}={M_{z}}\Rightarrow {\dot {\varphi }}={\frac {M_{z}}{m{r^{2}}}}\\&{\underline {{\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+{r^{2}}{{\dot {\varphi }}^{2}}\right)}}={\frac {m{{\dot {r}}^{2}}}{2}}+{\frac {m{r^{2}}{{\dot {\varphi }}^{2}}}{2}}={\frac {m{{\dot {r}}^{2}}}{2}}+{\frac {M_{z}^{2}}{2m{r^{2}}}}\\\end{aligned}}\\\Downarrow \\\displaystyle E={\underline {{\frac {m{{\dot {r}}^{2}}}{2}}+{\frac {M_{z}^{2}}{2mr^{2}}}}}+U(r)\\\end{matrix}}$ (1.4.26)

В формуле   (1.4.26)   энергия, масса и момент импульса – это постоянные величины, значит из   (1.4.26)   можно выразить скорость:

${\dot {r}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(E-U(r)\right)-{\frac {M_{z}^{2}}{m^{2}{r^{2}}}}}}$ (1.4.27)

Из скорости теперь можно найти зависимость координаты от времени (траекторию), однако для этого нужно знать точный вид функции U(r). В общем виде, для произвольной потенциальной энергии, можно найти функцию, обратную траектории - зависимость времени от координаты:

$t=\displaystyle \int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(E-U(r)\right)-{\frac {M_{z}^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}}$ (1.4.28)

Также можно найти зависимость угла поворота от времени если воспользоваться соотношением  (1.2.41)  :

${\begin{aligned}&d\varphi ={\frac {M_{z}}{m{r^{2}}}}dt\\&\varphi =\displaystyle \int {\frac {{\frac {M_{z}}{r^{2}}}dr}{\sqrt {2m\left(E-U\right)-{\frac {M_{z}^{2}}{r^{2}}}}}}\\\end{aligned}}$ (1.4.29)

Формулы   (1.4.28)   и   (1.4.29)   – это и есть решение задачи движения тела в центральном поле. При этом,   (1.4.29)   – дает связь $\varphi (r)$, то есть является уравнением траектории, а   (1.4.28)   – определяет расстояние движущейся точки как функцию времени.

Величину ${\frac {M_{z}^{2}}{2mr^{2}}}$ – называют «центробежной энергией». Индекс оси «z» у момента, обычно в формулах не пишут.

По определению, «эффективной потенциальной энергией» называется величина, которая находится из соотношения:

$U_{\text{эф}}=U(r)+{\frac {M^{2}}{2m{r^{2}}}}$ (1.4.30)

Полученные формулы   (1.4.28)   и   (1.4.29)   будут иметь физический смысл лишь в том случае, если подкоренное выражение в них больше, либо равно нулю. Поэтому можно определить «границы области движения» как точки траектории, для которых выполняется соотношение:

${\begin{aligned}&\underbrace {U(r)+{\frac {M^{2}}{2mr^{2}}}} _{U_{\text{эф}}}=E\\&{U_{\text{эф}}}=E\\\end{aligned}}$ (1.4.31)

На границах области движения скорость тела равна нулю, эти точки называют еще «точками поворота», поскольку при достижении этих точек, координата тела переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.

Легко заметить, что определяющее точки поворота квадратное уравнение   (1.4.31)   может иметь два корня $r_{min}$ и $r_{max}$. Это радиусы двух окружностей, ограничивающих область движения.

Если область движения имеет только одну границу $r\geq r_{min}$, то такое движение – инфинитно. То есть траектория материальной точки приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.

Рис. 1.8

Если область движения имеет две границы $r_{min}\leq r\leq r_{max}$, то такое движение финитно. Траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями $r=r_{min}$ и $r=r_{max}$.

Рис. 1.9

Следует отметить, что траектория финитного движения не обязательно замкнута. Условие, при котором траектория является замкнутой, можно найти из формулы   (1.4.29)  . За время, когда расстояние r до точки меняется от $r=r_{min}$ до $r=r_{max}$ и обратно, угол изменится на величину:

$\Delta \varphi =2\int \limits _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {{\frac {M}{r^{2}}}dr}{\sqrt {2m\left(E-U\right)-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}}$ (1.4.32)

С другой стороны, чтобы траектория была замкнутой, необходимо выполнение условия:

$\Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}$ (1.4.33)

где m и n – это целые числа.

Только если выполняется   (1.4.33)  , через n повторений, радиус-вектор частицы сделает m полных оборотов и совпадет со своим первоначальным значением. То есть условием замкнутости траектории является равенство:

$\int \limits _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {{\frac {M}{r^{2}}}dr}{\sqrt {2m\left(E-U\right)-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}}=\pi {\frac {m}{n}}$ (1.4.34)

Чтобы узнать, выполняется ли равенство   (1.4.34)  , нужно знать точный вид функции U(r). Например, можно доказать, что для функций $U\sim {\frac {1}{r}}$ и $U\sim {\frac {1}{r_{2}}}$, равенство   (1.4.34)   всегда выполняется, то есть для таких полей, траектории финитных движений всегда замкнуты.

Можно также легко показать, что при движении в центральном поле, частица никогда не сможет попасть точно в центр. Действительно, если учитывать, что подкоренное выражение в   (1.4.29)   должно быть больше нуля, то получим:

${\begin{aligned}&2m\left(E-U\right)-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}>0\\&r^{2}E-r^{2}U-{\frac {M^{2}}{2m}}>0\\&U<E-{\frac {M^{2}}{2mr^{2}}}\Rightarrow {\underset {r\to 0}{\mathop {\lim } }}\,U(r)=-\infty \\\end{aligned}}$ (1.4.35)

То есть «падение» частицы в центр возможно лишь при бесконечной потенциальной энергии.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление