Основы теоретической физики/Движение в центральном поле

1.4.4. Движение в центральном полеПравить

Внешнее поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки, называется «центральным полем».

У центральных полей есть два важных свойства:

1. Сила, действующая на материальную точку в центральном поле, зависит только от радиус-вектора   и направлена вдоль него в каждой точке.

  (1.4.19)

2. Траектория движения частицы в центральном поле, лежит в одной плоскости. Это свойство прямо следует из предыдущего.

Поскольку движение происходит в одной плоскости, то функцию Лагранжа удобней рассматривать в полярных координатах. Для одной материальной точки:

  (1.4.20)

Можно заметить, что в   (1.4.20)   нет зависимости от обобщенной координаты  . Всякую обобщенную координату, не входящую в явном виде в функцию Лагранжа, называют «циклической координатой».

Рассмотрим уравнение движения для произвольной циклической координаты  :

  (1.4.21)

То есть из   (1.4.21)   можно сделать вывод: обобщенный импульс, соответствующий циклической координате – сохраняется.

Для случая движения материальной точки в центральном поле, из уравнения движения для циклической координаты  , подставляя определение проекции момента импульса   (1.2.41)   получим:

  (1.4.22)

Как видим, проекция момента импульса на ось, совпадающую с направлением центрального поля – сохраняется.

Полученный закон сохранения проекции момента импульса можно продемонстрировать графически. Рассмотрим для этого бесконечно малый отрезок произвольной траектории частицы.

 
Рис.1.7

Найдем площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории:

  (1.4.23)

Если поделить обе части выражения   (1.4.21)   на dt, то получим формулу для «секторальной скорости»:

  (1.4.24)

То есть сохранение момента означает и постоянство секторальной скорости:

  (1.4.25)

Мы получили закон, который называется «Второй закон Кеплера»: в центральном поле, частица движется так, что за равные промежутки времени, радиус-вектор описывает равные площади.

Рассмотрим теперь полную задачу о движении частицы в центральном поле. Удобнее всего эту задачу решать пользуясь законами сохранения энергии и момента импульса, а также определением проекции момента на ось «z» в цилиндрических координатах   (1.2.41)  :

  (1.4.26)

В формуле   (1.4.26)   энергия, масса и момент импульса – это постоянные величины, значит из   (1.4.26)   можно выразить скорость:

  (1.4.27)

Из скорости теперь можно найти зависимость координаты от времени (траекторию), однако для этого нужно знать точный вид функции U(r). В общем виде, для произвольной потенциальной энергии, можно найти функцию, обратную траектории - зависимость времени от координаты:

  (1.4.28)

Также можно найти зависимость угла поворота от времени если воспользоваться соотношением (1.2.41)  :

  (1.4.29)

Формулы   (1.4.28)   и   (1.4.29)   – это и есть решение задачи движения тела в центральном поле. При этом,   (1.4.29)   – дает связь  , то есть является уравнением траектории, а   (1.4.28)   – определяет расстояние движущейся точки как функцию времени.

Величину   – называют «центробежной энергией». Индекс оси «z» у момента, обычно в формулах не пишут.

По определению, «эффективной потенциальной энергией» называется величина, которая находится из соотношения:

  (1.4.30)

Полученные формулы   (1.4.28)   и   (1.4.29)   будут иметь физический смысл лишь в том случае, если подкоренное выражение в них больше, либо равно нулю. Поэтому можно определить «границы области движения» как точки траектории, для которых выполняется соотношение:

  (1.4.31)

На границах области движения скорость тела равна нулю, эти точки называют еще «точками поворота», поскольку при достижении этих точек, координата тела переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.

Легко заметить, что определяющее точки поворота квадратное уравнение   (1.4.31)   может иметь два корня   и  . Это радиусы двух окружностей, ограничивающих область движения.

Если область движения имеет только одну границу  , то такое движение – инфинитно. То есть траектория материальной точки приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.

 
Рис. 1.8

Если область движения имеет две границы  , то такое движение финитно. Траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями   и  .

 
Рис. 1.9

Следует отметить, что траектория финитного движения не обязательно замкнута. Условие, при котором траектория является замкнутой, можно найти из формулы   (1.4.29)  . За время, когда расстояние r до точки меняется от   до   и обратно, угол изменится на величину:

  (1.4.32)

С другой стороны, чтобы траектория была замкнутой, необходимо выполнение условия:

  (1.4.33)

где m и n – это целые числа.

Только если выполняется   (1.4.33)  , через n повторений, радиус-вектор частицы сделает m полных оборотов и совпадет со своим первоначальным значением. То есть условием замкнутости траектории является равенство:

  (1.4.34)

Чтобы узнать, выполняется ли равенство   (1.4.34)  , нужно знать точный вид функции U(r). Например, можно доказать, что для функций   и  , равенство   (1.4.34)   всегда выполняется, то есть для таких полей, траектории финитных движений всегда замкнуты.

Можно также легко показать, что при движении в центральном поле, частица никогда не сможет попасть точно в центр. Действительно, если учитывать, что подкоренное выражение в   (1.4.29)   должно быть больше нуля, то получим:

  (1.4.35)

То есть «падение» частицы в центр возможно лишь при бесконечной потенциальной энергии.

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить