Как было показано выше, закон сохранения момента импульса является следствием изотропии пространства. Это значит, что если тело находится в неподвижной системе отсчета во внешнем поле, то указанный закон будет справедлив, если поле не влияет на изотропию пространства. Например, проекция момента на некоторую ось координат будет сохраняться, если относительно этой оси поле симметрично.
Наиболее важным примером, является «центрально-симметричное поле» - такое поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки в пространстве (центра). В этом случае сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр.
Другим примером может служить поле, направленное вдоль одной из осей (например, вдоль оси «z»). В общем случае, для проекции момента на некоторую ось полезно вывести отдельную формулу.
(1.2.40)
Формула (1.2.40) будет выглядеть проще в цилиндрических координатах:
(1.2.41)
Если выразить в цилиндрических координатах функцию Лагранжа материальной точки (1.1.45) , то можно получить связь этой функции с проекцией момента импульса:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle M_{z}=\sum \limits _{a}{{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}_{z}}=\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {v}}_{a}}\right]}\\\displaystyle {{\overrightarrow {v}}_{a}}={{\dot {x}}_{a}}{\overrightarrow {i}}+{{\dot {y}}_{a}}{\overrightarrow {j}}+{{\dot {z}}_{a}}{\overrightarrow {k}}\\\displaystyle M_{z}=\sum _{a}m_{a}\left(x_{a}{\dot {y}}_{a}-y_{a}{\dot {x}}_{a}\right)\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba8e9833244c300b3fa002de48751793854d222)
