Основы теоретической физики/Функция Гамильтона

1.3.1. Функция Гамильтона

Законы механики в терминах функций Лагранжа получаются заданием обобщенных координат и скоростей. В ряде случаев удобнее использовать не скорости, а импульсы.

Чтобы перейти от одних координат в уравнениях движения к другим, выполним математические «преобразования Лежандро» над полным дифференциалом от функции Лагранжа. Подставим сначала в полный дифференциал определение обобщенного импульса  (1.2.19)   

${\begin{aligned}&dL(q,{\dot {q}})=\sum _{i}{\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}} _{{\dot {p}}_{i}}d{{q}_{i}}}+\sum _{i}{\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}} _{{p}_{i}}d{{\dot {q}}_{i}}}\\&dL=\sum _{i}{{{\dot {p}}_{i}}d{{q}_{i}}}+\sum _{i}{{{p}_{i}}d{{\dot {q}}_{i}}}\\\end{aligned}}$ (1.3.1)

Воспользуемся тождеством:

$\sum p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d\left(\sum p_{i}{\dot {q}}_{i}\right)-\sum {\dot {q}}_{i}dp_{i}$ (1.3.2)

Подставив  (1.3.2)   в  (1.3.1)   получим:

${\begin{matrix}dL=\sum \limits _{i}{{{\dot {p}}_{i}}d{{q}_{i}}}+d\left(\sum {{{p}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\right)-\sum {{{\dot {q}}_{i}}d{{p}_{i}}}\\\Downarrow \\d\left(\sum {{{p}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L\right)=\sum {{{\dot {q}}_{i}}d{{p}_{i}}}-\sum \limits _{i}{{{\dot {p}}_{i}}d{{q}_{i}}}\\\end{matrix}}$ (1.3.3)

Заметим, что в левой части  (1.3.3)  , под знаком дифференциала стоит полная энергия системы  (1.2.5)   . Эта энергия теперь выражена через обобщенные координаты и импульсы, ее можно обозначить по-новому:

$H(p,q)=\sum p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$ (1.3.4)

Полученная функция называется «функцией Гамильтона» или «Гамильтонианом системы». Можно переписать  (1.3.3)   с учетом обозначения  (1.3.4)   :

$dH(p,q)=\sum {\dot {q}}_{i}dp_{i}-\sum \limits _{i}{\dot {p}}_{i}dq_{i}$ (1.3.5)

Отсюда можно найти частные производные Гамильтониана по координатам и импульсам:

${\begin{cases}&\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}\\&\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\\\end{cases}}$ (1.3.6)

Уравнения  (1.3.6)   называются «уравнениями Гамильтона». Если система обладает S степенями свободы, то  (1.3.6)   это 2S дифференциальных уравнений первого порядка. То есть для одной и той же механической системы, уравнений движения Гамильтона получается в два раза больше, чем уравнений Лагранжа. С другой стороны, уравнения Гамильтона имеют меньший порядок, поэтому формально их можно считать проще чем уравнения Лагранжа. Уравнения  (1.3.6)   иногда еще называют «каноническими уравнениями» поскольку из-за математической простоты их чаще всего применяются в практических задачах.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление