Основы теоретической физики/Функция Гамильтона

1.3.1. Функция ГамильтонаПравить

Законы механики в терминах функций Лагранжа получаются заданием обобщенных координат и скоростей. В ряде случаев удобнее использовать не скорости, а импульсы.

Чтобы перейти от одних координат в уравнениях движения к другим, выполним математические «преобразования Лежандро» над полным дифференциалом от функции Лагранжа. Подставим сначала в полный дифференциал определение обобщенного импульса  (1.2.19)  

  (1.3.1)

Воспользуемся тождеством:

  (1.3.2)

Подставив  (1.3.2)  в  (1.3.1)  получим:

  (1.3.3)

Заметим, что в левой части  (1.3.3) , под знаком дифференциала стоит полная энергия системы  (1.2.5)  . Эта энергия теперь выражена через обобщенные координаты и импульсы, ее можно обозначить по-новому:

  (1.3.4)

Полученная функция называется «функцией Гамильтона» или «Гамильтонианом системы». Можно переписать  (1.3.3)  с учетом обозначения  (1.3.4)  :

  (1.3.5)

Отсюда можно найти частные производные Гамильтониана по координатам и импульсам:

  (1.3.6)

Уравнения  (1.3.6)  называются «уравнениями Гамильтона». Если система обладает S степенями свободы, то  (1.3.6)  это 2S дифференциальных уравнений первого порядка. То есть для одной и той же механической системы, уравнений движения Гамильтона получается в два раза больше, чем уравнений Лагранжа. С другой стороны, уравнения Гамильтона имеют меньший порядок, поэтому формально их можно считать проще чем уравнения Лагранжа. Уравнения  (1.3.6)  иногда еще называют «каноническими уравнениями» поскольку из-за математической простоты их чаще всего применяются в практических задачах.

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить