Основы теоретической физики/Функция Гамильтона
1.3.1. Функция Гамильтона
правитьЗаконы механики в терминах функций Лагранжа получаются заданием обобщенных координат и скоростей. В ряде случаев удобнее использовать не скорости, а импульсы.
Чтобы перейти от одних координат в уравнениях движения к другим, выполним математические «преобразования Лежандро» над полным дифференциалом от функции Лагранжа. Подставим сначала в полный дифференциал определение обобщенного импульса (1.2.19)
Воспользуемся тождеством:
Подставив (1.3.2)
в (1.3.1)
получим:
Заметим, что в левой части (1.3.3)
, под знаком дифференциала стоит полная энергия системы (1.2.5)
. Эта энергия теперь выражена через обобщенные координаты и импульсы, ее можно обозначить по-новому:
Полученная функция называется «функцией Гамильтона» или «Гамильтонианом системы». Можно переписать (1.3.3)
с учетом обозначения (1.3.4)
:
Отсюда можно найти частные производные Гамильтониана по координатам и импульсам:
Уравнения (1.3.6)
называются «уравнениями Гамильтона». Если система обладает S степенями свободы, то (1.3.6)
это 2S дифференциальных уравнений первого порядка. То есть для одной и той же механической системы, уравнений движения Гамильтона получается в два раза больше, чем уравнений Лагранжа. С другой стороны, уравнения Гамильтона имеют меньший порядок, поэтому формально их можно считать проще чем уравнения Лагранжа. Уравнения (1.3.6)
иногда еще называют «каноническими уравнениями» поскольку из-за математической простоты их чаще всего применяются в практических задачах.