Основы теоретической физики/Функция Гамильтона

1.3.1. Функция Гамильтона

править

Законы механики в терминах функций Лагранжа получаются заданием обобщенных координат и скоростей. В ряде случаев удобнее использовать не скорости, а импульсы.

Чтобы перейти от одних координат в уравнениях движения к другим, выполним математические «преобразования Лежандро» над полным дифференциалом от функции Лагранжа. Подставим сначала в полный дифференциал определение обобщенного импульса  (1.2.19)   

  (1.3.1)


Воспользуемся тождеством:

  (1.3.2)


Подставив  (1.3.2)   в  (1.3.1)   получим:

  (1.3.3)


Заметим, что в левой части  (1.3.3)  , под знаком дифференциала стоит полная энергия системы  (1.2.5)   . Эта энергия теперь выражена через обобщенные координаты и импульсы, ее можно обозначить по-новому:

  (1.3.4)


Полученная функция называется «функцией Гамильтона» или «Гамильтонианом системы». Можно переписать  (1.3.3)   с учетом обозначения  (1.3.4)   :

  (1.3.5)


Отсюда можно найти частные производные Гамильтониана по координатам и импульсам:

  (1.3.6)


Уравнения  (1.3.6)   называются «уравнениями Гамильтона». Если система обладает S степенями свободы, то  (1.3.6)   это 2S дифференциальных уравнений первого порядка. То есть для одной и той же механической системы, уравнений движения Гамильтона получается в два раза больше, чем уравнений Лагранжа. С другой стороны, уравнения Гамильтона имеют меньший порядок, поэтому формально их можно считать проще чем уравнения Лагранжа. Уравнения  (1.3.6)   иногда еще называют «каноническими уравнениями» поскольку из-за математической простоты их чаще всего применяются в практических задачах.

См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править