Второй закон сохранения связан с однородностью пространства. В системах, где законы движения зависят от выбора начала системы отсчета координат, этот закон не работает. Если же любой параллельный перенос системы в пространстве не меняет ее механических свойств, то функция Лагранжа тоже не должна меняться.
Рассмотрим для наглядности функцию Лагранжа в декартовых координатах.
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle L=L(\overrightarrow{r_1},...,\overrightarrow{r_n},\dot{\overrightarrow{r_1} },...,\dot{\overrightarrow{r_n} })}
(1.2.10)
Запишем изменение функции Лагранжа при переносе всех точек системы на бесконечно малую величину, если скорости остаются неизменными:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle\overrightarrow{r_a}=\overrightarrow{r_a}+d \overrightarrow{r_a}\\ \displaystyle\dot{\overrightarrow{r_a} }=\dot{\overrightarrow{r_a} }+d \dot{\overrightarrow{r_a} }\\ \displaystyle dL=\sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a} }d \overrightarrow{r_a}=0 \end{array}}
(1.2.11)
При параллельном переносе все точки системы смещаются на постоянную величину, значит в однородном пространстве (где функция Лагранжа не изменяется) имеем:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle d\overrightarrow{r_a}=\overrightarrow{\varepsilon}={const}\\ \displaystyle dL=\sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a} }d\overrightarrow{r_a}=\overrightarrow{\varepsilon}\sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a} }=0 \\ \displaystyle \sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a} }=0 \end{array}}
(1.2.12)
Подставим в (1.2.12) уравнения Лагранжа (1.1.24) :
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \displaystyle 0=\sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a} }=\sum_{a=1}^N\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{r_a} } }=\frac{d} {dt}\sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v_a} }}
(1.2.13)
Интегрируя (1.2.13) , получаем постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «импульсом»:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v_a} }={const} =\overrightarrow{P}}
(1.2.14)
Если подставить в (1.2.14) функцию Лагранжа в декартовых координатах для системы материальных точек (1.1.44) , то получим выражение:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{P}=\sum_{a=1}^N m_{_a}\overrightarrow{v_{_a} }=\sum_{a=1}^N\overrightarrow{p}_a}
(1.2.15)
Как видно из (1.2.15) ,импульс является аддитивным интегралом движения, равным сумме импульсов отдельных частиц вне зависимости от взаимодействия между ними. Из (1.2.14) и (1.2.15) , мы приходим к закону сохранения импульса: полный импульс системы материальных точек является постоянной величиной, не зависящей от времени.
Равенство (1.2.12) также имеет простой физический смысл, если подставить в него функцию Лагранжа (1.1.45) :
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a } }=-\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a} }=\overrightarrow{F}_a}
(1.2.16)
Значит из (1.2.12) получаем:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \sum_{a=1}^N\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a } }=-\sum_{a=1}^N\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a } }=\sum_{a=1}^N\overrightarrow{F}_a=0}
(1.2.17)
Другими словами, формулу (1.2.17) можно сформулировать как еще один закон: сумма сил, действующих на все материальные точки замкнутой системы равна нулю.
В частном случае, если система состоит из двух материальных точек, то:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c}\displaystyle \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2=0\\\displaystyle \overrightarrow{F}_1=\overrightarrow{F}_2 \end{array}}
(1.2.18)
То есть получаем третий закон Ньютона: сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой.
Если рассматривать движение в обобщенных координатах, то нужно использовать «обобщенный импульс» и «обобщенную силу», которые находятся по формулам, аналогичным (1.2.15) и (1.2.16) :
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c}\displaystyle p_{_i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\\ \displaystyle F_i=\frac{\partial L}{\partial q_{_i} }\end{array}}
(1.2.19)
В этих обозначениях уравнения Лагранжа принимают вид:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_i= F_i}
(1.2.20)
