Основы теоретической физики/Закон сохранения импульса

1.2.3. Закон сохранения импульсаПравить

Второй закон сохранения связан с однородностью пространства. В системах, где законы движения зависят от выбора начала системы отсчета координат, этот закон не работает. Если же любой параллельный перенос системы в пространстве не меняет ее механических свойств, то функция Лагранжа тоже не должна меняться.

Рассмотрим для наглядности функцию Лагранжа в декартовых координатах.

  (1.2.10)

Запишем изменение функции Лагранжа при переносе всех точек системы на бесконечно малую величину, если скорости остаются неизменными:

  (1.2.11)

При параллельном переносе все точки системы смещаются на постоянную величину, значит в однородном пространстве (где функция Лагранжа не изменяется) имеем:

  (1.2.12)

Подставим в (1.2.12)  уравнения Лагранжа   (1.1.24)  :

  (1.2.13)

Интегрируя (1.2.13) , получаем постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «импульсом»:

  (1.2.14)

Если подставить в (1.2.14)  функцию Лагранжа в декартовых координатах для системы материальных точек   (1.1.44)  , то получим выражение:

  (1.2.15)

Как видно из (1.2.15) ,импульс является аддитивным интегралом движения, равным сумме импульсов отдельных частиц вне зависимости от взаимодействия между ними. Из (1.2.14)  и (1.2.15) , мы приходим к закону сохранения импульса: полный импульс системы материальных точек является постоянной величиной, не зависящей от времени.

Равенство (1.2.12)  также имеет простой физический смысл, если подставить в него функцию Лагранжа   (1.1.45)  :

  (1.2.16)

Значит из (1.2.12)  получаем:

  (1.2.17)

Другими словами, формулу (1.2.17)  можно сформулировать как еще один закон: сумма сил, действующих на все материальные точки замкнутой системы равна нулю.

В частном случае, если система состоит из двух материальных точек, то:

  (1.2.18)

То есть получаем третий закон Ньютона: сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой.

Если рассматривать движение в обобщенных координатах, то нужно использовать «обобщенный импульс» и «обобщенную силу», которые находятся по формулам, аналогичным (1.2.15)  и (1.2.16) :

  (1.2.19)

В этих обозначениях уравнения Лагранжа принимают вид:

  (1.2.20)

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить