Основы теоретической физики/Функция Лагранжа свободной материальной точки

1.1.5. Функция Лагранжа свободной материальной точки

править

Простейшей задачей механики является нахождение функции Лагранжа материальной точки в ИСО. Рассмотрим две ИСО К и К' которые движутся со скоростями v и v'. Пусть скорости систем отличаются на бесконечно малую величину:

  (1.1.38)

Так как уравнения движения должны иметь одинаковый вид, то функции Лагранжа этих систем должны быть одинаковы, либо должны отличаться на полную производную по времени от произвольной функции   (1.1.26)  . То есть:

  (1.1.39)

С другой стороны, подставляя   (1.1.38)   в   (1.1.39)   и пользуясь разложением в ряд Тейлора, получим:

  (1.1.40)

Таким образом, сравнивая   (1.1.39)   и   (1.1.40)  , приходим к выражениям:

  (1.1.41)

Отметим, что вывод, к которому мы пришли в   (1.1.41)   можно было сделать и из более простых рассуждений. Сравнивая формулы   (1.1.33)   и   (1.1.33)  , получаем:

  (1.1.42)

Из   (1.1.41)   и   (1.1.42)   сразу же получаем явный вид функции Лагранжа:

  (1.1.43)

Несмотря на то, что функция Лагранжа получила такой вид для бесконечно малой скорости, можно показать, что она будет такой же и для конечной скорости тоже. Величина m – называется «массой материальной точки».

Благодаря свойству аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих N материальных точек сразу можно записать формулу:

  (1.1.44)

В дальнейшем, в качестве индекса, указывающего номер частицы, будем использовать буквы из начала латинского алфавита: a, b, c… Для индексов координат принято использовать буквы из середины латинского алфавита i, j, k, l…

См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править