Основы теоретической физики/Принцип относительности Галилея

1.1.4. Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений нужно выбрать систему отсчета (СО). В общем случае, в разных СО законы движения могут иметь разный вид. Поэтому нужно выбрать СО, в которой законы движения будут максимально простыми. В произвольной СО пространство является неоднородным и неизотропным. То есть даже если тело ни с чем не взаимодействует, его различные положения в пространстве неэквивалентны. Точно так же, в произвольной СО, время тоже может быть неоднородным. Очевидно поэтому, что в неоднородном и неизотропном пространстве и времени, законы движения имеют не самый простой вид. Поэтому следующим важным постулатом классической механики является утверждение: Всегда можно найти такую СО, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время однородным. Такая СО называется «инерциальной системой отсчета». В инерциальной СО (ИСО), свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, будет оставаться в покое неограниченно долго.

Однородность пространства и времени означает, что функция Лагранжа в ИСО не должна зависеть явно ни от координат q, ни от времени t:

$L=L({\dot {q}})$ (1.1.29)

Уравнения движения   (1.1.24)   тогда принимают вид:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}(i=1,2,3,...,s)\\\displaystyle \Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\text{const}}\end{array}}$ (1.1.30)

Рассмотрим для примера движение материальной точки в декартовых координатах, тогда уравнения движения:

${\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {v}}}}={\text{const}}$ (1.1.31)

В силу изотропии пространства функция Лагранжа материальной точки в ИСО не зависит от направления скорости. То есть L зависит только от модуля скорости:

$L=L(\mid {v}\mid )=L(v^{2})$ (1.1.32)

уравнение   (1.1.31)   принимает вид:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial L(v^{2})}{\partial {\overrightarrow {v}}}}={const}\Rightarrow {\frac {dL(v^{2})}{dv^{2}}}{\frac {dv^{2}}{d{\overrightarrow {v}}}}={const}\\\displaystyle {\frac {dv^{2}}{d{\overrightarrow {v}}}}=2{\overrightarrow {v}}\Rightarrow {\frac {dL}{dv^{2}}}{\overrightarrow {v}}={const}\end{array}}$ (1.1.33)

Продифференцируем   (1.1.33)   по времени:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dL}{dv^{2}}}{\overrightarrow {v}}\right)=0={\overrightarrow {v}}{\underset {=0}{\underbrace {{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dL}{dv^{2}}}\right)} }}+{\overrightarrow {v}}{\frac {dL}{dv^{2}}}$ (1.1.34)

Первое слагаемое в правой части   (1.1.34)   равно нулю, так как функция L не зависит явно от времени. Таким образом, для второго слагаемого получаем:

${\underset {\neq 0}{\underbrace {\frac {dL}{dv^{2}}} }}{\overrightarrow {v}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {v}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {v}}={const}$ (1.1.35)

Таким образом, в ИСО, всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Полученный закон механики называется «законом инерции». Из этого закона следует, что если взять другую ИСО, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут такими же, что и по отношению к первоначальной.

Опыт показывает, что справедлив и более общий постулат, чем мы сформулировали ранее. Этот постулат называется «принципом относительности Галлилея»: существует не одна, а бесконечное множество ИСО, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих СО, свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики.

Сформулированный принцип и полученные свойства функции Лагранжа, позволяют сделать вывод, что именно в инерциальных системах законы механики имеют наиболее простой вид. Тот факт, что все ИСО эквивалентны означает, что нет абсолютной СО, которую можно было бы предпочесть другим. Координаты одной и той же точки в двух ИСО К и К' связаны соотношением:

${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}^{\prime }+{\overrightarrow {v}}t$ (1.1.36)

где — это скорость системы К' относительно системы К. Следует отметить, что в классической механике постулируется предположение об абсолютности времени:

$t=t^{\prime }$ (1.1.37)

Формулы   (1.1.36)   и   (1.1.37)   называются «преобразованиями Галилея».

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление