«Замкнутой системой» называется система материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами. В классической механике взаимодействие между материальными точками можно описать прибавлением к функции Лагранжа (1.1.44) , некоторой функции координат:
(1.1.45)
где - радиус-вектор a-той точки.
Первое слагаемое в (1.1.45) называют «кинетической энергией», а второе слагаемое – «потенциальной энергией» системы.
Поскольку U – зависит только от расположения материальных точек, то изменение положения одной, мгновенно скажется на всех остальных точках. Другими словами, вид функции Лагранжа (а значит и вид уравнений движения и траектории) мгновенно поменяется если изменится любая координата любой материальной точки. То есть в классической механике любые взаимодействия распространяются мгновенно.
Можно заметить, что замена в (1.1.45) времени на , не поменяет функцию Лагранжа. Это означает, что в классической механике время не только однородно, но и изотропно (не зависит от направления). Значит, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное:все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.
Рассмотрим уравнения движения для замкнутой системы материальных точек:
Полученные уравнения (1.1.47) , называются «уравнениями Ньютона». Правая часть уравнений называется «силой», действующей на a-тую частицу со стороны остальных частиц системы.
(1.1.48)
Из (1.1.48) видно, что сила - зависит только от координат и не зависит от скоростей. Это значит, что и ускорения тоже являются функциями только от координат.
В уравнения движения потенциальная энергия входит через частную производную от координат, значит U определяется с точностью до произвольной постоянной. Для практических целей, чаще всего постоянную выбирают так, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояния между телами.
Если для описания движения нужно использовать не декартовы координаты, то в уравнениях движения нужно сделать некоторые преобразования:
Выражение (1.1.50) можно записать более кратко если сделать дополнительные преобразования и ввести новые обозначения:
(1.1.51)
Здесь первое слагаемое – это кинетическая энергия, а коэффициенты это функции от координат. Значит итоговое выражение (1.1.51) показывает, что в обобщенных координатах кинетическая энергия остается квадратичной функцией скоростей и может зависеть от координат.