Основы теоретической физики/Функция Лагранжа системы материальных точек

1.1.6. Функция Лагранжа системы материальных точек

править

«Замкнутой системой» называется система материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами. В классической механике взаимодействие между материальными точками можно описать прибавлением к функции Лагранжа   (1.1.44)  , некоторой функции координат:

  (1.1.45)

где   - радиус-вектор a-той точки.

Первое слагаемое в   (1.1.45)   называют «кинетической энергией», а второе слагаемое – «потенциальной энергией» системы.

Поскольку U – зависит только от расположения материальных точек, то изменение положения одной, мгновенно скажется на всех остальных точках. Другими словами, вид функции Лагранжа (а значит и вид уравнений движения и траектории) мгновенно поменяется если изменится любая координата любой материальной точки. То есть в классической механике любые взаимодействия распространяются мгновенно.

Можно заметить, что замена в   (1.1.45)   времени   на  , не поменяет функцию Лагранжа. Это означает, что в классической механике время не только однородно, но и изотропно (не зависит от направления). Значит, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное:все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Рассмотрим уравнения движения для замкнутой системы материальных точек:

  (1.1.46)

Подставим   (1.1.45)   в   (1.1.46)  ):

  (1.1.47)

Полученные уравнения  (1.1.47) , называются «уравнениями Ньютона». Правая часть уравнений называется «силой», действующей на a-тую частицу со стороны остальных частиц системы.

  (1.1.48)

Из  (1.1.48)  видно, что сила   - зависит только от координат и не зависит от скоростей. Это значит, что и ускорения тоже являются функциями только от координат.

В уравнения движения потенциальная энергия входит через частную производную от координат, значит U определяется с точностью до произвольной постоянной. Для практических целей, чаще всего постоянную выбирают так, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояния между телами.

Если для описания движения нужно использовать не декартовы координаты, то в уравнениях движения нужно сделать некоторые преобразования:

  (1.1.49)

Подставив  (1.1.49)  в  (1.1.45) , получим:

  (1.1.50)

Выражение  (1.1.50)  можно записать более кратко если сделать дополнительные преобразования и ввести новые обозначения:

  (1.1.51)

Здесь первое слагаемое – это кинетическая энергия, а коэффициенты это функции от координат. Значит итоговое выражение  (1.1.51)  показывает, что в обобщенных координатах кинетическая энергия остается квадратичной функцией скоростей и может зависеть от координат.

См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править