Основы теоретической физики/Законы преобразования момента импульса

1.2.6. Законы преобразования момента импульса

Покажем, что значение момента импульса зависит от выбора начала координат. Рассмотрим две системы отсчета $K$ и $K^{\prime }$, которые смещены относительно друг друга на вектор ${\overrightarrow {a}}$. Значит для наблюдателя в одной системе отсчета, все точки замкнутой системы будут смещены на этот вектор:

${\overrightarrow {r}}_{a}={\overrightarrow {r}}_{a}^{\prime }+{\overrightarrow {a}}$ (1.2.35)

Подставим  (1.2.35)  в определение момента   (1.2.27)  :

${\begin{aligned}&{\overrightarrow {M}}=\sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=\underbrace {\sum \limits _{a}{\left[{{{\overrightarrow {r}}'}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}} _{{\overrightarrow {M}}'}+\left[{\overrightarrow {a}}\times \sum \limits _{a}{{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]\\&{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\left[{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {P}}\right]\\\end{aligned}}$ (1.2.36)

Таким образом, из  (1.2.36)  видно, что момент импульса не зависит от выбора начала координат только в случае, если система отсчета покоится (только если ${\overrightarrow {P}}=0$).

Найдем теперь закон преобразования момента импульса при переходе из одной системы отсчета в другую. Для этого предположим, что система отсчета $K^{\prime }$ движется относительно системы отсчета $K$ с постоянной скоростью ${\overrightarrow {V}}$. Тогда скорости всех точек будут связаны соотношением:

${{\overrightarrow {v}}_{a}}={{\overrightarrow {v}}_{a}}^{\prime }+{\overrightarrow {V}}$ (1.2.37)

Если мы рассмотрим момент времени, когда начала координат систем отсчета $K$ и $K^{\prime }$ совпадают, то подставляя  (1.2.37)  в   (1.1.27)  , а также используя формулы для массы  (1.2.30)  и центра инерции  (1.2.31) , получим:

${\begin{aligned}&{\overrightarrow {M}}=\sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=\underbrace {\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{{\overrightarrow {v}}'}_{a}}\right]}} _{{\overrightarrow {M}}'}+\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {\overrightarrow {V}}\right]}\\&{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\mu \left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {V}}\right]\\\end{aligned}}$ (1.2.38)

Полученное выражение  (1.2.38)  определяет закон преобразования момента импульса, который можно переписать в виде:

${\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {P}}\right]$ (1.2.39)

Другими словами, момент импульса замкнутой механической системы складывается из ее собственного момента (относительно покоящейся системы отсчета) и момента $\left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {P}}\right]$, связанного с движением системы как целого.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление