Перепишем поученное ранее уравнение для действия как функции координат и времени (1.3.27)
:
(1.3.42)
Если в (1.3.42)
выразить импульсы через действие по формуле (1.3.26)
, то получим дифференциальное уравнение для функции :
(1.3.43)
Это выражение называется «уравнением Гамильтона-Якоби». Для системы с s – степенями свободы, в общем случае, решение уравнение (1.3.43)
будет содержать s+1 произвольных постоянных:
(1.3.44)
Выполним над функцией (1.3.44)
канонические преобразования (1.3.41)
, считая f – производящей функцией, которая зависит от старых координат и новых импульсов:
(1.3.45)
С другой стороны, поскольку (1.3.44)
– это решение уравнения (1.3.43)
, получаем:
(1.3.46)
Значит уравнения Гамильтона для новых координат (1.3.37)
принимают вид:
(1.3.47)
Условия (1.3.45)
и (1.3.47)
дают возможность найти все траектории механической системы как функции зависимости координаты от времени и 2s произвольных постоянных. Решение этой задачи нужно вести по следующему алгоритму:
1. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби (1.3.43)
и находится решение этого уравнения – действие S.
2. Приравнивая производную от (1.3.44)
по постоянным интегрирования к новым постоянным , получается система из s дифференциальных уравнений:
(1.3.48)
3. Решая систему (1.3.48)
, находятся траектории как функции от времени и 2s произвольных постоянных .
4. Зависимость импульсов от времени можно найти по известному действию и траекториям: