Основы теоретической физики/Уравнение Гамильтона-Якоби

1.3.8. Уравнение Гамильтона-Якоби

Перепишем поученное ранее уравнение для действия как функции координат и времени   (1.3.27)   :

${\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-H\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H({{q}_{1}}...{{q}_{s}},{{p}_{1}}...{{p}_{s}},t)=0\\\end{matrix}}$ (1.3.42)

Если в   (1.3.42)    выразить импульсы через действие по формуле   (1.3.26)   , то получим дифференциальное уравнение для функции $S(q,t)$:

${\frac {\partial S}{\partial t}}+H({{q}_{1}}...{{q}_{s}},{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{1}}}}...{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{s}}}},t)=0$ (1.3.43)

Это выражение называется «уравнением Гамильтона-Якоби». Для системы с s – степенями свободы, в общем случае, решение уравнение   (1.3.43)    будет содержать s+1 произвольных постоянных:

$S=f(t,{{q}_{1}}...{{q}_{s}},{{P}_{1}}...{{P}_{s}})+A$ (1.3.44)

Выполним над функцией   (1.3.44)    канонические преобразования   (1.3.41)   , считая f – производящей функцией, которая зависит от старых координат и новых импульсов:

$\left\{{\begin{aligned}&{{p}_{i}}={\frac {\partial f}{\partial {{q}_{i}}}}\\&{{Q}_{i}}={\frac {\partial f}{\partial {{P}_{i}}}}\\&{H}'=H+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\\end{aligned}}\right.$ (1.3.45)

С другой стороны, поскольку   (1.3.44)    – это решение уравнения   (1.3.43)   , получаем:

${H}'=H+{\frac {\partial f}{\partial t}}=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$ (1.3.46)

Значит уравнения Гамильтона для новых координат   (1.3.37)    принимают вид:

$\left.{\begin{matrix}\displaystyle {{\dot {Q}}_{i}}=0\\\displaystyle {{\dot {P}}_{i}}=0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow {\begin{aligned}&{Q_{i}}=const\\&{P_{i}}=const\end{aligned}}$ (1.3.47)

Условия   (1.3.45)    и   (1.3.47)    дают возможность найти все траектории $q_{_{i}}(t,a_{1},...,a_{2s})$ механической системы как функции зависимости координаты от времени и 2s произвольных постоянных. Решение этой задачи нужно вести по следующему алгоритму:

1. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби   (1.3.43)    и находится решение этого уравнения – действие S.

2. Приравнивая производную от   (1.3.44)    по постоянным интегрирования $P_{i}$ к новым постоянным $Q_{i}$, получается система из s дифференциальных уравнений:

${{Q}_{i}}={\frac {\partial f}{\partial {{P}_{i}}}}$ (1.3.48)

3. Решая систему   (1.3.48)   , находятся траектории как функции от времени и 2s произвольных постоянных $q_{_{i}}(t,a_{1},...,a_{2s})$.

4. Зависимость импульсов от времени можно найти по известному действию и траекториям:

${{p}_{i}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{i}}}}$ (1.3.49)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление