Основы теоретической физики/Уравнение Гамильтона-Якоби

1.3.8. Уравнение Гамильтона-Якоби

править

Перепишем поученное ранее уравнение для действия как функции координат и времени   (1.3.27)   :

  (1.3.42)


Если в   (1.3.42)    выразить импульсы через действие по формуле   (1.3.26)   , то получим дифференциальное уравнение для функции  :

  (1.3.43)


Это выражение называется «уравнением Гамильтона-Якоби». Для системы с s – степенями свободы, в общем случае, решение уравнение   (1.3.43)    будет содержать s+1 произвольных постоянных:

  (1.3.44)


Выполним над функцией   (1.3.44)    канонические преобразования   (1.3.41)   , считая f – производящей функцией, которая зависит от старых координат и новых импульсов:

  (1.3.45)


С другой стороны, поскольку   (1.3.44)    – это решение уравнения   (1.3.43)   , получаем:

  (1.3.46)


Значит уравнения Гамильтона для новых координат   (1.3.37)    принимают вид:

  (1.3.47)


Условия   (1.3.45)    и   (1.3.47)    дают возможность найти все траектории   механической системы как функции зависимости координаты от времени и 2s произвольных постоянных. Решение этой задачи нужно вести по следующему алгоритму:

1. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби   (1.3.43)    и находится решение этого уравнения – действие S.

2. Приравнивая производную от   (1.3.44)    по постоянным интегрирования   к новым постоянным  , получается система из s дифференциальных уравнений:

  (1.3.48)


3. Решая систему   (1.3.48)   , находятся траектории как функции от времени и 2s произвольных постоянных  .

4. Зависимость импульсов от времени можно найти по известному действию и траекториям:

  (1.3.49)


См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править