Основы теоретической физики/Уравнение Гамильтона-Якоби

1.3.8. Уравнение Гамильтона-ЯкобиПравить

Перепишем поученное ранее уравнение для действия как функции координат и времени   (1.3.27)  :

  (1.3.42)

Если в   (1.3.42)   выразить импульсы через действие по формуле   (1.3.26)  , то получим дифференциальное уравнение для функции  :

  (1.3.43)

Это выражение называется «уравнением Гамильтона-Якоби». Для системы с s – степенями свободы, в общем случае, решение уравнение   (1.3.43)   будет содержать s+1 произвольных постоянных:

  (1.3.44)

Выполним над функцией   (1.3.44)   канонические преобразования   (1.3.41)  , считая f – производящей функцией, которая зависит от старых координат и новых импульсов:

  (1.3.45)

С другой стороны, поскольку   (1.3.44)   – это решение уравнения   (1.3.43)  , получаем:

  (1.3.46)

Значит уравнения Гамильтона для новых координат   (1.3.37)   принимают вид:

  (1.3.47)

Условия   (1.3.45)   и   (1.3.47)   дают возможность найти все траектории   механической системы как функции зависимости координаты от времени и 2s произвольных постоянных. Решение этой задачи нужно вести по следующему алгоритму:

1. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби   (1.3.43)   и находится решение этого уравнения – действие S.

2. Приравнивая производную от   (1.3.44)   по постоянным интегрирования   к новым постоянным  , получается система из s дифференциальных уравнений:

  (1.3.48)

3. Решая систему   (1.3.48)  , находятся траектории как функции от времени и 2s произвольных постоянных  .

4. Зависимость импульсов от времени можно найти по известному действию и траекториям:

  (1.3.49)

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить