Основы теоретической физики/Действие как функция от координат и импульсов

1.3.5. Действие как функция от координат и импульсов

Ранее мы определили действие как интеграл от функции Лагранжа   (1.1.10)  . Из этого определения очевидно, что действие является функцией координат, скоростей и времени. Найти явный вид функции действия можно из принципа наименьшего действия. Рассмотрим вариацию   (1.1.16)  

$\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)}dt=0$ (1.3.22)

Проинтегрируем второе слагаемое по частям как мы это делали выше и получим выражение:

$\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q{\bigg \vert }_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}+\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt}$ (1.3.23)

Если дальше интересоваться единственно возможной траекторией, то вариацию  (1.3.23)  нужно приравнять к нулю как мы это делали при выводе уравнений Лагранжа. Если же нас интересует функция действия, то можно рассмотреть множество траекторий. Чтобы при этом не нарушался принцип наименьшего действия, разные траектории должны иметь разные начальные и (или) разные конечные координаты.

Пусть нас интересует множество траекторий, имеющих одинаковые начальные и разные конечные координаты. То есть:

$\left.{\begin{aligned}&\delta q({{t}_{1}})=0\\&\delta q({{t}_{2}})\neq 0\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q({{t}_{2}})+\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt}$ (1.3.24)

Если мы рассматриваем только реальные траектории, то для них должны удовлетворяться уравнения Лагранжа. Если подставить уравнения Лагранжа в  (1.3.24) , то интеграл станет равным нулю и получим следующее выражение для вариации действия:

$\delta S=\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}} _{p}\delta q({{t}_{2}})=p\delta q({{t}_{2}})$ (1.3.25)

Если обобщить полученную формулу на системы с многими степенями свободы, то получим в окончательном виде уравнение, из которого можно находить действие как функцию от координат и импульсов:

${\begin{matrix}\displaystyle \delta S=\sum \limits _{i}{{{p}_{i}}\delta {{q}_{i}}}\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial {{q}_{i}}}}={{p}_{i}}\\\end{matrix}}$ (1.3.26)

Аналогичным образом можно рассмотреть действие как функцию от времени. Подставив  (1.3.26)  в определение действия получим:

${\begin{matrix}\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\underbrace {\frac {\partial S}{\partial {{q}_{i}}}} _{{p}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {{{p}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=L-\sum {{{p}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}=-H\\\end{matrix}}$ (1.3.27)

Таким образом, для полного дифференциала действия как функции от координат и времени можно записать выражение:

$dS=Ldt=\sum {{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-Hdt$ (1.3.28)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление