править
Ранее из принципа наименьшего действия мы вывели уравнения Лагранжа. Легко показать, что уравнения Гамильтона тоже можно вывести из этого фундаментального принципа.
Воспользуемся определением действия через функцию Лагранжа с одной стороны, а с другой – возьмем полную производную действия по времени по обычным математическим правилам:
d
S
=
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
d
S
d
t
=
L
=
∂
S
∂
t
+
∑
i
∂
S
∂
q
i
⏟
p
i
q
˙
i
⇒
∂
S
∂
t
=
L
−
∑
i
p
i
q
˙
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&dS=L(q,{\dot {q}},t)dt\\&{\frac {dS}{dt}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum \limits _{i}{\underbrace {\frac {\partial S}{\partial q_{i}}} _{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial S}{\partial t}}=L-\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\\\end{aligned}}}
(1.3.29)
H
(
p
,
q
,
t
)
=
∑
i
p
i
q
˙
i
−
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle H(p,q,t)=\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L(q,{\dot {q}},t)}
(1.3.30) (1.3.30)
в (1.3.29)
d
S
=
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
=
(
∑
i
p
i
q
˙
i
−
H
(
p
,
q
,
t
)
)
d
t
{\displaystyle dS=L(q,{\dot {q}},t)dt=\left(\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-H(p,q,t)\right)dt}
(1.3.31)
S
=
∫
t
1
t
2
(
p
q
˙
−
H
(
p
,
q
)
)
d
t
δ
S
=
∫
t
1
t
2
(
δ
(
p
d
q
d
t
)
−
δ
H
(
p
,
q
)
)
d
t
=
0
δ
S
=
∫
t
1
t
2
(
δ
p
d
q
+
p
d
δ
q
−
∂
H
∂
q
δ
q
d
t
−
∂
H
∂
p
δ
p
d
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt}\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\delta \left(p{\frac {dq}{dt}}\right)-\delta H(p,q)\right)dt}=0\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\delta pdq+pd\delta q-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta qdt-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta pdt\right)}\\\end{aligned}}}
(1.3.32)
∫
t
1
t
2
p
d
δ
q
=
p
δ
q
|
t
1
t
2
−
∫
t
1
t
2
δ
q
d
p
{\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{pd\delta q}=p\delta q{\bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta qdp}}
(1.3.33) (1.3.33)
в (1.3.32)
δ
S
=
∫
t
1
t
2
(
δ
p
d
q
_
−
∂
H
∂
q
δ
q
d
t
_
_
−
∂
H
∂
p
δ
p
d
t
_
)
+
p
δ
q
|
t
1
t
2
⏟
=
0
−
∫
t
1
t
2
δ
q
d
p
_
_
δ
S
=
∫
t
1
t
2
δ
p
d
t
(
q
˙
−
∂
H
∂
p
)
−
∫
t
1
t
2
δ
q
d
t
(
p
˙
+
∂
H
∂
q
)
=
0
δ
p
(
q
˙
−
∂
H
∂
p
)
=
δ
q
(
p
˙
+
∂
H
∂
q
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left({\underline {\delta pdq}}-{\underline {\underline {{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta qdt}}}-{\underline {{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta pdt}}\right)+\underbrace {p\delta q{\bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}} _{=0}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\underline {\underline {\delta qdp}}}}\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta pdt\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta qdt\left({\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)}=0\\&\delta p\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)=\delta q\left({\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)\\\end{aligned}}}
(1.3.34) (1.3.34)
должно выполняться для любых координат и импульсов, которые являются независимыми переменными функции Гамильтона. Это возможно лишь для случая, когда оба выражения в скобках равны нулю:
q
˙
−
∂
H
∂
p
=
0
p
˙
+
∂
H
∂
q
=
0
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}=0\\&{\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}=0\\\end{aligned}}\right\}}
(1.3.35) (1.3.35)
совпадает с уравнениями (1.3.6)
. Таким образом, нам удалось вывести уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия.
