Основы теоретической физики/Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия

1.3.6. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия

Ранее из принципа наименьшего действия мы вывели уравнения Лагранжа. Легко показать, что уравнения Гамильтона тоже можно вывести из этого фундаментального принципа.

Воспользуемся определением действия через функцию Лагранжа с одной стороны, а с другой – возьмем полную производную действия по времени по обычным математическим правилам:

${\begin{aligned}&dS=L(q,{\dot {q}},t)dt\\&{\frac {dS}{dt}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum \limits _{i}{\underbrace {\frac {\partial S}{\partial q_{i}}} _{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial S}{\partial t}}=L-\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}\\\end{aligned}}$ (1.3.29)

Воспользуемся теперь определением функции Гамильтона:

$H(p,q,t)=\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-L(q,{\dot {q}},t)$ (1.3.30)

Подставим (1.3.30)  в (1.3.29)  и выразим дифференциал действия через функцию Гамильтона:

$dS=L(q,{\dot {q}},t)dt=\left(\sum \limits _{i}{{p_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}-H(p,q,t)\right)dt$ (1.3.31)

Рассмотрим для простоты одну степень свободы, а также допустим, что Гамильтониан не зависит явно от времени и потребуем равенства нулю вариации действия:

${\begin{aligned}&S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt}\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\delta \left(p{\frac {dq}{dt}}\right)-\delta H(p,q)\right)dt}=0\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\delta pdq+pd\delta q-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta qdt-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta pdt\right)}\\\end{aligned}}$ (1.3.32)

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в подынтегральном выражении:

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{pd\delta q}=p\delta q{\bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta qdp}$ (1.3.33)

Подставим (1.3.33)  в (1.3.32)  и сгруппируем, а также положим равной нулю вариацию координат в начальной и конечной точках:

${\begin{aligned}&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left({\underline {\delta pdq}}-{\underline {\underline {{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta qdt}}}-{\underline {{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta pdt}}\right)+\underbrace {p\delta q{\bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}} _{=0}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\underline {\underline {\delta qdp}}}}\\&\delta S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta pdt\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\delta qdt\left({\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)}=0\\&\delta p\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)=\delta q\left({\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)\\\end{aligned}}$ (1.3.34)

Полученной равенство (1.3.34)  должно выполняться для любых координат и импульсов, которые являются независимыми переменными функции Гамильтона. Это возможно лишь для случая, когда оба выражения в скобках равны нулю:

$\left.{\begin{aligned}&{\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}=0\\&{\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}=0\\\end{aligned}}\right\}$ (1.3.35)

Как видно, выражение (1.3.35)  совпадает с уравнениями   (1.3.6)  . Таким образом, нам удалось вывести уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление