Основы теоретической физики/Канонические преобразования

1.3.7. Канонические преобразованияПравить

В некоторых задачах механики бывает удобно переходить от одних обобщенных координат и импульсов к другим. Формулы перехода в общем виде:

  (1.3.36)

Если после замены переменных   (1.3.36)   уравнения Гамильтона не меняют свой вид, то такие преобразования называются «каноническими преобразованиями». То есть при канонических преобразованиях, для функций   (1.3.36)   будет выполняться:

  (1.3.37)

Где   — это некоторая новая функция Гамильтона для новых обобщенных координат и импульсов.

Чтобы вывести формулы для канонических преобразований, нужно воспользоваться принципом наименьшего действия   (1.3.32)  :

  (1.3.38)

Оба выражения   (1.3.38)   будут эквивалентны, если подынтегральные функции будут отличаться на полный дифференциал от произвольной функции координат импульсов и времени:

  (1.3.39)

Функцию F – называют «производящей функцией» канонического преобразования. Сами эти преобразования получаются как следствие из   (1.3.39)  :

  (1.3.40)

Канонические преобразования   (1.3.40)  , при заданной функции F(q,Q,t) дают связь между старыми переменными (q,p) и новыми (Q,P). Новая функция Гамильтона   в результате таких преобразований удовлетворяет уравнениям Гамильтона.

Производящая функция может зависеть не только от координат, но и от импульсов. Соответствующую этому случаю формулу можно получить из   (1.3.40)   с помощью преобразований Лежандра:

  (1.3.41)

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить