В некоторых задачах механики бывает удобно переходить от одних обобщенных координат и импульсов к другим. Формулы перехода в общем виде:
(1.3.36)
Если после замены переменных (1.3.36) уравнения Гамильтона не меняют свой вид, то такие преобразования называются «каноническими преобразованиями». То есть при канонических преобразованиях, для функций (1.3.36) будет выполняться:
(1.3.37)
Где — это некоторая новая функция Гамильтона для новых обобщенных координат и импульсов.
Чтобы вывести формулы для канонических преобразований, нужно воспользоваться принципом наименьшего действия (1.3.32) :
(1.3.38)
Оба выражения (1.3.38) будут эквивалентны, если подынтегральные функции будут отличаться на полный дифференциал от произвольной функции координат импульсов и времени:
(1.3.39)
Функцию F – называют «производящей функцией» канонического преобразования. Сами эти преобразования получаются как следствие из (1.3.39) :
(1.3.40)
Канонические преобразования (1.3.40) , при заданной функции F(q,Q,t) дают связь между старыми переменными (q,p) и новыми (Q,P). Новая функция Гамильтона в результате таких преобразований удовлетворяет уравнениям Гамильтона.
Производящая функция может зависеть не только от координат, но и от импульсов. Соответствующую этому случаю формулу можно получить из (1.3.40) с помощью преобразований Лежандра: