Основы теоретической физики/Свойства скобок Пуассона

1.3.4. Свойства скобок ПуассонаПравить

Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения   (1.3.12)   и из свойств производной от функции.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.

Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это:

  (1.3.15)

Разобьем дальнейшее доказательство на две части: а) если функции f и g – не зависят явно от времени

Воспользуемся выражением   (1.3.14)  :

  (1.3.16)

Подставим (1.3.16)  в (1.3.15)  и получим то, что и требовалось доказать:

  (1.3.17)

б) если функции f и g – зависят явно от времени

Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде:

  (1.3.18)

В правой части (1.3.18)  для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби:

  (1.3.19)

Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона:

  (1.3.20)

В правой части (1.3.20) , внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения:

  (1.3.21)

Как видим, в (1.3.21)  скобка Пуассона от интегралов движения получилась равна константе, что и требовалось доказать.

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить