В механике очень часто используются полные производные от функций координат, импульсов и времени, поэтому бывает удобно сокращать запись с помощью некоторых специальных формул. Рассмотрим некоторые из наиболее известных таких формул и соотношений.
Пусть - некоторая функция. Тогда ее полная производная по переменной t, находится по известной формуле:
Второе слагаемое в правой части выражения (1.3.10) имеет собственное обозначение и называется «скобками Пуассона».
(1.3.11)
В общем случае скобки Пуассона определены для любых двух функций:
(1.3.12)
Учитывая данные обозначения для функций, которые являются интегралами движения, можно записать:
(1.3.13)
Если время не входит явным образом в функцию (1.3.9) , то частная производная по времени будет равна нулю и тогда для интегралов движения получим выражение:
(1.3.14)
Из полученной формулы (1.3.14) можно сделать следующий вывод: если скобки Пуассона какой-либо функции и Гамильтониана равны нулю, значит данная функция является интегралом движения.