Основы теоретической физики/Ангармонические колебания

1.5.7. Ангармонические колебания

Теория малых колебаний основана на разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка малости. В этом случае уравнения движения получаются линейными, поэтому малые колебания еще называют «линейными колебаниями». Учет членов более высокого порядка малости приводит к появлению некоторых новых особенностей движения.

Проведем разложение потенциальной энергии до членов четвертого порядка малости и запишем сразу функцию Лагранжа:

${\begin{aligned}&U\approx {\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,k}{P_{ik}{q_{i}}{q_{k}}}+{\frac {1}{3!}}\sum \limits _{i,k,l}{N_{ik}{q_{i}}{q_{k}}{q_{l}}}+{\frac {1}{4!}}\sum \limits _{i,k,l,n}{L_{ik}{q_{i}}{q_{k}}{q_{l}}{q_{n}}}\\&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,k}{a_{ik}{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {q}}_{k}}}\\&L=T-U={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,k}{\left(a_{ik}{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {q}}_{k}}-P_{ik}{q_{i}}{q_{k}}\right)}-{\frac {1}{3!}}\sum \limits _{i,k,l}{{N_{ik}}{q_{i}}{q_{k}}{q_{l}}}-{\frac {1}{4!}}\sum \limits _{i,k,l,n}{L_{ik}{q_{i}}{q_{k}}{q_{l}}{q_{n}}}\\\end{aligned}}$ (1.5.54)

Если перейти к нормальным координатам, то первое слагаемое в   (1.5.54)   будет таким же как формула   (1.5.37)  , второе и третье слагаемые тоже заменятся:

$L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{S}{\left({\dot {Q}}_{i}^{2}-\omega _{i}^{2}Q_{i}^{2}\right)}-{\frac {1}{3!}}\sum \limits _{i,k,l}{\lambda _{ik}{Q_{i}}{Q_{k}}{Q_{l}}}-{\frac {1}{4!}}\sum \limits _{i,k,l,n}{\mu _{ik}{Q_{i}}{Q_{k}}{Q_{l}}{Q_{n}}}$ (1.5.55)

Найдем уравнения движения:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {Q}}_{i}}}}={{\ddot {Q}}_{i}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {Q_{i}}}}=-\omega _{i}^{2}{Q_{i}}+{f_{i}}\left({Q_{k}}{Q_{l}}\right)+{g_{i}}\left({Q_{k}}{Q_{l}}{Q_{n}}\right)\\&{{\ddot {Q}}_{i}}+\omega _{i}^{2}{Q_{i}}={f_{i}}\left({Q_{k}}{Q_{l}}\right)+{g_{i}}\left({Q_{k}}{Q_{l}}{Q_{n}}\right)\\\end{aligned}}$ (1.5.56)

Уравнение движения   (1.5.56)   — это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью. Решение можно найти «методом последовательных приближений» в виде суммы:

$\left\{{\begin{aligned}&{Q_{i}}=Q_{i}^{(1)}+Q_{i}^{(2)}+Q_{i}^{(3)}+...\\&Q_{i}^{(1)}\gg Q_{i}^{(2)}\gg Q_{i}^{(3)}\gg ...\\\end{aligned}}\right.$ (1.5.57)

Первое слагаемое в   (1.5.57)   это частное решение уравнения   (1.5.56)   без правой части, то есть обычное гармоническое колебание:

$Q_{i}^{(1)}={a_{i}}\cos \left({\omega _{i}}t+{\alpha _{i}}\right)$ (1.5.58)

Где $\omega _{i}$ — это «собственные частоты» ангармонических колебаний. Для краткости, не будем далее учитывать начальный фазовый сдвиг $\alpha _{i}$, поскольку его всегда можно принять равным нулю, соответствующим выбором начала отсчета времени.

Собственные частоты ангармонических колебаний отличаются от частот линейных (гармонических). Будем считать это отличие малым, тогда точная частота будет находиться в виде ряда:

$\left.{\begin{aligned}&\omega _{i}=\omega _{i}^{(0)}+\omega ^{(1)}+\omega ^{(2)}+...\\&\omega _{i}^{(0)}\gg \omega ^{(1)}\gg \omega ^{(2)}\gg ...\\\end{aligned}}\right\}$ (1.5.59)

Где $\omega _{i}^{(0)}$ — это собственные частоты гармонических колебаний. То есть в первом приближении, решением уравнения   (1.5.56)   можно считать функцию:

$Q_{i}^{(1)}\approx a_{i}\cos \left(\omega _{i}^{(0)}t+\alpha _{i}\right)$ (1.5.60)

Второе слагаемое в   (1.5.57)   ищут из   (1.5.56)  , подставляя   (1.5.58)   в правую часть, а в левую часть нужно подставить   (1.5.59)  , отбрасывая члены выше первого порядка малости:

${\begin{aligned}&{{\ddot {Q}}_{i}}+\left(\omega _{i}^{(0)2}+2\omega _{i}^{(0)}\omega _{i}^{(1)}\right){Q_{i}}={f_{i}}\left(Q_{k}^{(1)}Q_{l}^{(1)}\right)={f_{i}}\left({a_{k}}{a_{l}}\cos \left(\omega _{k}t\right)\cos \left(\omega _{l}t\right)\right)=\\&={f_{i}}\left({\frac {1}{2}}{a_{k}}{a_{l}}\left\{\cos[(\omega _{k}+\omega _{l})t]+\cos[(\omega _{k}-\omega _{l})t]\right\}\right)\\\end{aligned}}$ (1.5.61)

Как видно из   (1.5.61)  , в правой части уравнений движения находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами $\omega _{_{k}}\pm \omega _{_{l}}$. Это значит, что во втором приближении, на нормальные колебания системы с частотами $\omega _{i}$, накладываются дополнительные колебания с частотами $\omega _{_{k}}\pm \omega _{_{l}}$, которые носят название: «комбинационные частоты». Легко заметить, что амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведению амплитуд соответствующих нормальных колебаний: $a_{k}a_{l}$.

Если в левую часть уравнения   (1.5.61)  , вместо координаты подставить выражение   (1.5.57)  , во втором приближении:

$Q_{i}=Q_{i}^{(1)}+Q_{i}^{(2)}={a_{i}}\cos \left(\left[\omega _{i}^{(0)}+\omega _{i}^{(1)}\right]t\right)+Q_{i}^{(2)}$ (1.5.62)

Тогда получим дифференциальное уравнение для нахождения поправки $Q_{i}^{(2)}$:

${\begin{matrix}\displaystyle {\ddot {Q}}_{i}^{(1)}+{\ddot {Q}}_{i}^{(2)}+\left(\omega _{i}^{(0)2}+2\omega _{i}^{(0)}\omega _{i}^{(1)}\right)Q_{i}^{(1)}+\left(\omega _{i}^{(0)2}+2\omega _{i}^{(0)}\omega _{i}^{(1)}\right)Q_{i}^{(2)}=\\\displaystyle ={\ddot {Q}}_{i}^{(2)}+\omega _{i}^{(0)2}Q_{i}^{(2)}+2\omega _{i}^{(0)}{\underset {\approx 0}{\underbrace {\omega _{i}^{(1)}{Q}_{i}^{(2)}} }}={\ddot {Q}}_{i}^{(2)}+\omega _{i}^{(0)2}Q_{i}^{(2)}\\\Downarrow \\\displaystyle {\ddot {Q}}_{i}^{(2)}+\omega _{i}^{(0)2}Q_{i}^{(2)}=f_{i}\left({\frac {1}{2}}{a_{k}}{a_{l}}\left\{\cos[(\omega _{k}+\omega _{l})t]+\cos[({\omega _{k}}-\omega _{l})t]\right\}\right)\\\end{matrix}}$ (1.5.63)

Третье и последующие слагаемые в   (1.5.57)   ищут аналогично второму слагаемому, оставляя в уравнении   (1.5.56)   члены соответствующего порядка малости и отбрасывая остальные.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление