Основы теоретической физики/Ангармонические колебания с одной степенью свободы

1.5.8. Ангармонические колебания с одной степенью свободыПравить

В качестве примера ангармонических колебаний, полезно рассмотреть колебания системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа   (1.5.54)   для такой системы в декартовых координатах примет вид:

  (1.5.64)

Для одной степени свободы переход к нормальным координатам не сделает уравнения проще, поэтому будем дальше искать уравнение движения в декартовых координатах.

  (1.5.65)

Будем решать уравнение   (1.5.65)   в виде ряда последовательных приближений.

Первое приближение:

Считаем равными нулю все члены второго и третьего порядка малости.

  (1.5.66)

Здесь и далее начальную фазу не учитываем, поскольку ее всегда можно свести к нулю надлежащим выбором начального момента времени.

Второе приближение:

В уравнении   (1.5.65)  , считаем равными нулю все члены выше первого порядка малости и воспользуемся решением, которое получилось в первом приближении.

  (1.5.67)

Подставим в левую часть уравнения   (1.5.67)   выражение:

  (1.5.68)

После подстановки получим:

  (1.5.69)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.69)  , амплитуда колебаний получается зависимой от частоты.

Такие слагаемые называются «резонансными» и их нужно отбрасывать в методе последовательных приближений как не имеющие физического смысла. Отбросить резонансное слагаемое в   (1.5.69)   можно если полагать  . В итоге из   (1.5.69)   получаем уравнение:

  (1.5.70)

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение   (1.5.70)   решается обычными методами и получается ответ:

  (1.5.71)

Третье приближение:

В уравнении движения, считаем равными нулю все члены выше второго порядка малости и воспользуемся первым и вторым приближениями.

  (1.5.72)

Если теперь подставить в левую часть   (1.5.72)   выражения:

  (1.5.73)

После преобразований, аналогичных тем, которые делали для второго приближения приходим к следующему дифференциальному уравнению для третьего приближения:

  (1.5.74)

Подставляя в правую часть   (1.5.74)   известные выражения   и  , получаем следующее уравнение:

  (1.5.75)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.75)  , амплитуда колебаний получается зависящей от частоты. Это резонансные члены, которые должны быть нулевыми. Отсюда следует, что вторая поправка к основной частоте равна:

  (1.5.76)

Комбинационное колебание третьего порядка тогда опять найдется из решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

  (1.5.77)

См. такжеПравить

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

ПримечанияПравить