Основы теоретической физики/Ангармонические колебания с одной степенью свободы

1.5.8. Ангармонические колебания с одной степенью свободы

В качестве примера ангармонических колебаний, полезно рассмотреть колебания системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа   (1.5.54)    для такой системы в декартовых координатах примет вид:

${\begin{aligned}&U\approx {\frac {1}{2}}k{x^{2}}+{\frac {1}{3!}}N{x^{3}}+{\frac {1}{4!}}L{x^{4}}\\&T={\frac {1}{2}}m{{\dot {x}}^{2}}\\&L=T-U={\frac {1}{2}}\left(m{{\dot {x}}^{2}}-k{x^{2}}\right)-{\frac {1}{3!}}N{x^{3}}-{\frac {1}{4!}}L{x^{4}}\\\end{aligned}}$ (1.5.64)

Для одной степени свободы переход к нормальным координатам не сделает уравнения проще, поэтому будем дальше искать уравнение движения в декартовых координатах.

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}\\&{\frac {\partial L}{\partial x}}=-kx-{\frac {1}{2}}N{x^{2}}-{\frac {1}{6}}L{x^{3}}\\&m{\ddot {x}}+kx=-{\frac {1}{2}}N{x^{2}}-{\frac {1}{6}}L{x^{3}}\\&{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=-\underbrace {{\frac {1}{2m}}N} _{\alpha }{x^{2}}-\underbrace {{\frac {1}{6m}}L} _{\beta }{x^{3}}\\&{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=-\alpha x^{2}-\beta x^{3}\\\end{aligned}}$ (1.5.65)

Будем решать уравнение   (1.5.65)    в виде ряда последовательных приближений.

Первое приближение:

Считаем равными нулю все члены второго и третьего порядка малости.

${\begin{aligned}&{\ddot {x}}^{(1)}+\omega _{0}^{2}x^{(1)}=0\\&x^{(1)}=a\cos {\omega _{0}}t\\\end{aligned}}$ (1.5.66)

Здесь и далее начальную фазу не учитываем, поскольку ее всегда можно свести к нулю надлежащим выбором начального момента времени.

Второе приближение:

В уравнении   (1.5.65)   , считаем равными нулю все члены выше первого порядка малости и воспользуемся решением, которое получилось в первом приближении.

${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \omega t\\&\omega =\omega _{0}+\omega _{1}\\&{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\underbrace {-\alpha x^{2}} _{-\alpha {a^{2}}{\cos ^{2}}\omega t}-\underbrace {\beta {x^{3}}} _{\approx 0}\\\end{aligned}}$ (1.5.67)

Подставим в левую часть уравнения   (1.5.67)    выражение:

${\begin{aligned}&x={\underline {x^{(1)}}}+x^{(2)}={\underline {a\cos \left(\left[{\omega _{0}}+{\omega _{1}}\right]t\right)}}+x^{(2)}\\&{{\ddot {x}}^{(1)}}=-a{{\left(\omega _{0}+\omega _{1}\right)}^{2}}\cos \left(\left[{\omega _{0}}+{\omega _{1}}\right]t\right)\\\end{aligned}}$ (1.5.68)

После подстановки получим:

${\begin{matrix}\displaystyle {\ddot {x}}^{(1)}+{\ddot {x}}^{(2)}+\omega _{0}^{2}{x^{(1)}}+{\omega _{0}}^{2}{x^{(2)}}=\\\displaystyle =\underbrace {-a{{\left({\omega _{0}}+{\omega _{1}}\right)}^{2}}\cos \left(\left[{\omega _{0}}+{\omega _{1}}\right]t\right)} _{\approx -\omega _{0}^{2}{x^{(1)}}-2{\omega _{0}}{\omega _{1}}\cos(\omega t)}+{\omega _{0}}^{2}{x^{(1)}}+{{\ddot {x}}^{(2)}}+{\omega _{0}}^{2}{x^{(2)}}\\\Downarrow \\\displaystyle {{\ddot {x}}^{(2)}}+\omega _{0}^{2}{x^{(2)}}=-\alpha {a^{2}}{\cos ^{2}}\omega t+2{\omega _{0}}{\omega _{1}}a\cos \omega t\\\end{matrix}}$ (1.5.69)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.69)   , амплитуда колебаний получается зависимой от частоты.

Такие слагаемые называются «резонансными» и их нужно отбрасывать в методе последовательных приближений как не имеющие физического смысла. Отбросить резонансное слагаемое в   (1.5.69)    можно если полагать $\omega ^{(1)}$. В итоге из   (1.5.69)    получаем уравнение:

${\ddot {x}}^{(2)}+\omega _{0}^{2}{x^{(2)}}=-{\frac {\alpha {a^{2}}}{2}}-{\frac {\alpha {a^{2}}}{2}}\cos 2\omega t$ (1.5.70)

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение   (1.5.70)    решается обычными методами и получается ответ:

$x^{(2)}=-{\frac {\alpha a^{2}}{2\omega _{0}^{2}}}-{\frac {\alpha {a^{2}}}{6\omega _{0}^{2}}}\cos 2\omega t$ (1.5.71)

Третье приближение:

В уравнении движения, считаем равными нулю все члены выше второго порядка малости и воспользуемся первым и вторым приближениями.

${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \omega t\\&x^{(2)}=-{\frac {\alpha a^{2}}{2\omega _{0}^{2}}}-{\frac {\alpha a^{2}}{6\omega _{0}^{2}}}\cos 2\omega t\\&{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=-\alpha {{\left(x^{(1)}+x^{(2)}\right)}^{2}}-\beta {{\left(x^{(1)}+x^{(2)}\right)}^{3}}\\&{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x\approx -\alpha x^{(1)2}-2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)3}\\\end{aligned}}$ (1.5.72)

Если теперь подставить в левую часть   (1.5.72)    выражения:

${\begin{aligned}&x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}\\&\omega =\omega _{0}+\underbrace {\omega _{1}} _{=0}+{\omega _{2}}\\\end{aligned}}$ (1.5.73)

После преобразований, аналогичных тем, которые делали для второго приближения приходим к следующему дифференциальному уравнению для третьего приближения:

${\ddot {x}}^{(3)}+\omega _{0}^{2}{x^{(3)}}=-2\alpha x^{(1)}x^{(2)}-\beta x^{(1)3}+2\omega _{0}\omega _{2}x^{(1)}$ (1.5.74)

Подставляя в правую часть   (1.5.74)    известные выражения $x_{(1)}$ и $x_{(2)}$, получаем следующее уравнение:

${\begin{aligned}&{\ddot {x}}^{(3)}+\omega _{0}^{2}x^{(3)}=-{a^{3}}\left[{\frac {\beta }{4}}+{\frac {\alpha ^{2}}{6{\omega _{0}}}}\right]\cos 3\omega t+a\left[2{\omega _{0}}{\omega _{2}}+{\frac {5{a^{2}}{\alpha ^{2}}}{6\omega _{0}^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\alpha ^{2}}\beta \right]\cos \omega t\\\end{aligned}}$ (1.5.75)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.75)   , амплитуда колебаний получается зависящей от частоты. Это резонансные члены, которые должны быть нулевыми. Отсюда следует, что вторая поправка к основной частоте равна:

$\omega _{2}=\left({\frac {2\beta }{8{\omega _{0}}}}-{\frac {5{a^{2}}}{12\omega _{0}^{3}}}\right){a^{2}}$ (1.5.76)

Комбинационное колебание третьего порядка тогда опять найдется из решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

${\begin{matrix}\displaystyle {\ddot {x}}^{(3)}+\omega _{0}^{2}x^{(3)}=-a^{3}\left[{\frac {\beta }{4}}+{\frac {\alpha ^{2}}{6{\omega _{0}}}}\right]\cos 3\omega t\\\Downarrow \\\displaystyle x^{(3)}={\frac {a^{3}}{16\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {\alpha ^{2}}{3\omega _{0}^{2}}}+{\frac {\beta }{2}}\right)\cos 3\omega t\\\end{matrix}}$ (1.5.77)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление