Основы теоретической физики/Колебания систем со многими степенями свободы

1.5.3. Колебания систем со многими степенями свободы

Мы рассмотрели колебания систем с одной степенью свободы. Покажем теперь, что полученные результаты легко можно обобщить на более сложные случаи. Пусть система имеет S степеней свободы, а потенциальная энергия $U(q_{1},...,q_{s})$ имеет минимум при координатах $(q_{1}^{0},q_{2}^{0},...,q_{s}^{0})$. Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора вблизи минимума:

$U\left(q_{1},...,q_{s}\right)\approx U\left(q_{1}-q_{1}^{0},...,q_{s}-q_{s}^{0}\right)+\sum \limits _{i}{{{{\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}{\bigg \vert }}_{q_{i}=q_{i}^{0}}}\left(q_{i}-q_{i}^{0}\right)}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{\sum \limits _{k}{\underbrace {{{\frac {\partial ^{2}U}{\partial {q_{i}}\partial q_{k}}}{\bigg \vert }}_{q_{i}=q_{i}^{0};q_{k}=q_{k}^{0}}} _{P_{ik}}\left(q_{i}-q_{i}^{0}\right)\left(q_{k}-q_{k}^{0}\right)}}+...$ (1.5.21)

Первое слагаемое в   (1.5.21)   и все смещения $q_{i}^{0}$ можно приравнять к нулю если минимум функции $U(q_{1},...,q_{s})$ поместить в начало координат, второе слагаемое равно нулю так как равна нулю первая производная в точке экстремума. Значит, если ограничиться слагаемым второго порядка малости, для потенциальной энергии получим формулу:

$U\left(q_{1},...,q_{s}\right)\approx {\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{\sum \limits _{k}{P_{ik}{q_{i}}q_{k}}}$ (1.5.22)

Кинетическая энергия в общем виде была найдена в формуле   (1.1.51)  :

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{ij}}}{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {q}}_{j}}$ (1.5.23)

Запишем функцию Лагранжа:

$L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\sum \limits _{j=1}^{n}a_{ij}}{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {q}}_{j}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{\sum \limits _{k}{P_{ik}{q_{i}}{q_{k}}}}$ (1.5.24)

Найдем полный дифференциал функции   (1.5.24)  , при этом воспользуемся симметричностью коэффициентов $a_{ij}$ и $P_{ik}$:

${\begin{aligned}&dL={\frac {1}{2}}d\sum \limits _{ij}{\left(a_{ij}{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {q}}_{j}}-{P_{ij}}{q_{i}}{q_{j}}\right)}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{ij}{\left(a_{ij}{{\dot {q}}_{j}}d{{\dot {q}}_{i}}+{a_{ij}}{{\dot {q}}_{i}}d{{\dot {q}}_{j}}-{P}_{ij}{q_{j}}d{q_{i}}-P_{ij}{q_{i}}d{q_{j}}\right)}=\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{ij}{a_{ij}{{\dot {q}}_{j}}d{{\dot {q}}_{i}}}+\sum \limits _{ji}{{a}_{ji}{{\dot {q}}_{j}}d{{\dot {q}}_{i}}}-\sum \limits _{ij}{P_{ij}{q_{j}}d{q_{i}}}-\sum \limits _{ji}{P_{ji}{q_{j}}d{q_{i}}}\right)=\\&={\bigg \vert }{\begin{matrix}a_{ij}=a_{ji}\\P_{ij}=P_{ji}\\\end{matrix}}{\bigg \vert }=\sum \limits _{ij}{a_{ji}{{\dot {q}}_{j}}d{{\dot {q}}_{i}}}-\sum \limits _{ij}{P_{ij}{q_{j}}d{q_{i}}}\\\end{aligned}}$ (1.5.25)

Теперь можно найти уравнения движения:

${\begin{aligned}&dL=\sum \limits _{ij}{a_{ij}{{\dot {q}}_{j}}d{{\dot {q}}_{i}}}-\sum \limits _{ij}{P_{ij}{q_{j}}d{q_{i}}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{a_{ij}{{\dot {q}}_{j}}}\\&{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-\sum \limits _{j}{P_{ij}{q_{j}}}\\&0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=\sum \limits _{j}{a_{ij}{{\ddot {q}}_{j}}}+\sum \limits _{j}{P_{ij}q_{j}}\\\end{aligned}}$ (1.5.26)

Решение системы однородных дифференциальных уравнений   (1.5.26)   нужно искать в виде:

${q_{j}}={A_{j}}{e^{i\omega t}}$ (1.5.27)

Подставим   (1.5.27)   в   (1.5.26)  :

$\left.{\begin{aligned}&\sum \limits _{j}a_{ij}{\ddot {q}}_{j}+\sum \limits _{j}P_{ij}q_{j}=0\\&q_{j}=A_{j}e^{i\omega t}\\&{\ddot {q}}_{j}=-A_{j}\omega ^{2}e^{i\omega t}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \sum \limits _{j}\left(-a_{ij}{\omega }^{2}+P_{ij}\right)A_{j}=0$ (1.5.28)

Если найти из уравнения   (1.5.28)   коэффициенты $A_{j}$, то найдутся и решения системы   (1.5.26)  . Значит, чтобы система линейных уравнений   (1.5.26)   имела решение, должен быть равен нулю определитель:

$\Delta =\det \left(P_{ij}-a_{ij}\omega ^{2}\right)=0$ (1.5.29)

Выражение   (1.5.29)   называется «характеристическим уравнением». В общем случае характеристическое уравнение имеет S различных вещественных положительных корней $\omega _{\alpha }^{2}(\alpha =1,2,3,...,S)$. В частных случаях некоторые из корней могут совпадать. Решения уравнения   (1.5.29)   называют «собственными частотами» системы.

Подставляя собственные частоты в   (1.5.28)  , можно методом Крамера найти коэффициенты $A_{j}$ через миноры определителя   (1.5.29)  :

${A_{j}}={\frac {\Delta _{j\alpha }}{\Delta }}$ (1.5.30)

В числителе стоит минор матрицы, составленной из коэффициентов $(P_{ij}-a_{ij}\omega _{\alpha }^{2})$, столбец с номером j в этом миноре, заменен на «свободные члены» уравнения   (1.5.28)  , то есть заменен на нули.

Таким образом, частное решение уравнения   (1.5.26)   находится по формуле:

${\overline {q}}_{j}={\frac {\Delta _{j\alpha }}{\Delta }}{e^{i{\omega _{\alpha }}t}}$ (1.5.31)

Общее решение найдется как линейная комбинация всех частных решений:

$q_{j}={Re}\left\{\sum \limits _{\alpha =1}^{S}{C_{\alpha }{\frac {\Delta _{j\alpha }}{\Delta }}{e^{i{{\omega }_{\alpha }}t}}}\right\}$ (1.5.32)

Где $C_{\alpha }$ - произвольная комплексная постоянная. Решением является уравнение траектории, поэтому ответ должен быть вещественным числом.

Введем обозначение:

$\theta _{\alpha }={Re}\left\{{\frac {C_{\alpha }}{\Delta }}{e^{i{{\omega }_{\alpha }}t}}\right\}$ (1.5.33)

Тогда уравнение   (1.5.32)   можно переписать в виде:

$q_{j}={Re}\left\{\sum \limits _{\alpha =1}^{S}{{\Delta _{j\alpha }}{{\theta }_{\alpha }}}\right\}$ (1.5.34)

Из   (1.5.34)   можно сделать вывод о том, что изменение каждой координаты системы со временем представляет собой наложение S простых периодических колебаний $\theta _{1},...,\theta _{s}$ с произвольными амплитудами и фазами, но с определенными частотами.

Также можно рассмотреть   (1.5.34)   как систему уравнений с неизвестными переменными $\theta _{1},...,\theta _{s}$. Решением такой системы будут функции $\theta _{1}(q_{1},...,q_{s}),\theta _{2}(q_{1},...,q_{s}),...,\theta _{s}(q_{1},...,q_{s})$. Это значит, что величины $\theta _{1},...,\theta _{s}$ - можно рассматривать как некоторые обобщенные координаты. Такие координаты называют «нормальными координатами» системы. Колебания, совершаемые нормальными координатами, называют «нормальными колебаниями».

Из определения   (1.5.33)   очевидно, что нормальные координаты являются решением дифференциальных уравнений вида:

${\ddot {\theta }}_{\alpha }+\omega _{\alpha }^{2}{\theta }_{\alpha }=0$ (1.5.35)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения представляют собой S независимых дифференциальных уравнений. То есть нормальные колебания системы полностью независимы и тогда функцию Лагранжа всей системы, в нормальных координатах можно считать суммой независимых функций Лагранжа каждого из колебаний:

$L=\sum \limits _{\alpha =1}^{S}{{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\theta }}_{\alpha }^{2}-\omega _{\alpha }^{2}\theta _{\alpha }^{2}\right)}$ (1.5.36)

Чаще для удобства выбирают нормальные координаты так, чтобы в функции   (1.5.36)   не было массы:

$Q_{\alpha }={\sqrt {m_{\alpha }}}{\theta _{\alpha }}\Rightarrow L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{\alpha =1}^{S}{\left({\dot {Q}}_{\alpha }^{2}-\omega _{\alpha }^{2}Q_{\alpha }^{2}\right)}$ (1.5.37)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление