Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Подпространства векторного пространства

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

---

1. Предварительные понятия
2. Метод координат
3. Алгебраические линии первого и второго порядка
4. Комплексные числа
5. Матрицы и определители
6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
7. Системы линейных уравнений
8. Определение векторного пространства
9. Линейно-зависимые системы векторов
10. Подпространства векторного пространства
11. Линейные многообразия
12. Аналитическая геометрия в пространстве
13. Линейные пространства. Линейные преобразования
14. Задачи

Подпространство векторного пространства

Пусть задано векторное пространство V над полем P и $W\subset V$, причём $W\neq \varnothing$.
Определение:  W называется подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством над полем P.

Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество $W\subset V$ является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

1. $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in W\quad {\vec {x}}+{\vec {y}}\in W$
2. $(\forall \alpha \in P)(\forall {\vec {x}}\in W)\quad \alpha {\vec {x}}\in W$

Доказательство

Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.

Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2)  $\forall {\vec {x}}\in W\quad (-1){\vec {x}}=-{\vec {x}}\in W$, а значит ${\vec {0}}={\vec {x}}+(-{\vec {x}})\in W$. Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W- абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.

Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием: $(\forall \alpha ,\beta \in P)\quad (\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in W)\quad \alpha {\vec {x}}+\beta {\vec {y}}\in W$

Примеры подпространств:

• Множество $\{{\vec {0}}\}$ является подпространством в любом пространстве V.
• Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
• Докажите, применив критерий подпространства, что $S={\big \{}(a_{1},a_{2},...a_{n})\in P^{n}{\big |}\sum _{k=1}^{n}a_{i}=0{\big \}}$- подпространство арифметического пространства Pⁿ.

Теорема 2:  Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.

Доказательство

Пусть $\{V_{i}\}_{i\in I}$- произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. ${\vec {0}}$ принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. $\bigcap _{i}V_{i}\neq \varnothing$). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ из $\bigcap _{i}V_{i}$. Тогда, по критерию, $\forall i\quad \alpha {\vec {x}}+\beta {\vec {y}}\in V_{i}$, а значит $\alpha {\vec {x}}+\beta {\vec {y}}\in \bigcap _{i}V_{i}$, следовательно, $\bigcap _{i}V_{i}$- подпространство пространства V.

Линейная оболочка системы векторов

Пусть $A=\{{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},...{\vec {a}}_{k}\}$ - система векторов из векторного пространства V над полем P.

Определение 2:  Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда $L(A)\subset L(B)$.   (1)
2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B).   (2)
   

Доказательство следует из предыдущего свойства

3   Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

Возьмём любые два вектора ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ из L(A), имеющие следующие разложения по векторам из A: ${\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {a}}_{2}+...\alpha _{k}{\vec {a}}_{k},\;\;{\vec {y}}=\beta _{1}{\vec {a}}_{1}+\beta _{2}{\vec {a}}_{2}+...\beta _{k}{\vec {a}}_{k}$. Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

1. ${\vec {x}}+{\vec {y}}=(\alpha _{1}+\beta _{1}){\vec {a}}_{1}+(\alpha _{2}+\beta _{2}){\vec {a}}_{2}+...(\alpha _{k}+\beta _{k}){\vec {a}}_{k}\in L$, так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
2. $(\forall \alpha \in P)(\forall {\vec {x}}\in L)\quad \alpha {\vec {x}}=\alpha \alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha \alpha _{2}{\vec {a}}_{2}+...\alpha \alpha _{k}{\vec {a}}_{k}\in L$, так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу $A\in M^{m,n}$. Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L_r(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L_c(A). Обратите внимание, что при $m\neq n$ строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pⁿ и P^m соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3:  Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.