Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Линейно-зависимые системы векторов

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

---

1. Предварительные понятия
2. Метод координат
3. Алгебраические линии первого и второго порядка
4. Комплексные числа
5. Матрицы и определители
6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
7. Системы линейных уравнений
8. Определение векторного пространства
9. Линейно-зависимые системы векторов
10. Подпространства векторного пространства
11. Линейные многообразия
12. Аналитическая геометрия в пространстве
13. Линейные пространства. Линейные преобразования
14. Задачи

В курсе школьной геометрии-10 доказывается, что 1)если вектор ${\vec {a}}=k{\vec {b}}$, то такие векторы коллинеарны 2)если вектор можно разложить по двум другим векторам, то такие векторы компланарны. Настоящий § является обобщением этих теорем для любого векторного пространства.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3},...{\vec {a}}_{k}$} (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор ${\vec {p}}=\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {a}}_{2}+\alpha _{3}{\vec {a}}_{3}...+\alpha _{k}{\vec {a}}_{k}$ называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}...=\alpha _{k}=0$, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и ${\vec {p}}={\vec {0}}$). Если хотя бы один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

• Определение 1: система векторов A называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна ${\vec {0}}$, (т.е. ${\vec {p}}=\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {a}}_{2}+\alpha _{3}{\vec {a}}_{3}...+\alpha _{k}{\vec {a}}_{k}={\vec {0}}\;\Leftrightarrow \;\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}...=\alpha _{k}=0$ )
• Определение 2: система векторов A называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная ${\vec {0}}$.

Упражнения и примеры

На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания$\forall \alpha _{i},\quad \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {0}}\Rightarrow \;\forall i\quad \alpha _{i}=0$

1. Покажем, что A={${\vec {a}}=(1,0),{\vec {b}}=(0,1)$}-линейно независимая система.

Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) ↔ (α,0)+(0,β)=(0,0) ↔ α=0, β=0, следовательно, A линейно независимая система.

1. Покажем, что A={${\vec {a}},-{\vec {a}}$} - линейно зависимая система.

Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную ${\vec {0}}$.

$1\cdot {\vec {a}}+1\cdot (-{\vec {a}})={\vec {a}}-{\vec {a}}={\vec {0}}$, т.е. $\alpha _{1}=1\neq 0,\alpha _{2}=1\neq 0$

1. Элементами векторного пространства V являются линейные функции (т.е. вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно зависимыми (независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2)   2) B=( y=2x+12, y=x-√3, y=x+6)

Свойства

1. Cистема векторов A линейно зависима ↔ один из её векторов равен ${\vec {0}}$ или один из векторов есть линейная комбинация прочих векторов системы.Доказательство

(→): если A линейно зависима, то, по определению, не все коэффициенты в $\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {a}}_{2}+\alpha _{3}{\vec {a}}_{3}...+\alpha _{k}{\vec {a}}_{k}={\vec {0}}$  (1) комбинации равны 0. (Для определённости запишем комбинацию так, чтобы сначала шли ненулевые коэффициенты, а потом нулевые). Возможны два случая: 1)только первый коэффициент не нулевой, 2)два и более коэффициента не нулевые. В первом случае получаем $\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {0}}$, откуда ${\vec {a}}_{1}={\vec {0}}$. Во втором случае равенство (1) принимает вид $\alpha _{1}{\vec {a}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {a}}_{2}...+\alpha _{j}{\vec {a}}_{j}={\vec {0}}\quad (j\leq k)$  (2). Т.к. все коэффициенты от $\alpha _{1}$ до $\alpha _{j}$в (2) не равны 0, то (2) можно переписать так ${\vec {a}}_{j}=\left(-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{k}}}\right){\vec {a}}_{1}+...=\left(-{\frac {\alpha _{k-1}}{\alpha _{k}}}\right)$, т.е. один из векторов линейно выражен через другие векторы.
Обратное (←) докажите самостоятельно.

2.  Если система A содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система A линейно зависима. В частности, система векторов линейно зависима, если она содержит нулевой вектор, или равные векторы, или пропорциональные (коллинеарные) векторы.(докажите самостоятельно)

3.  Если A - линейно независимая система векторов, а система $A\cup ({\vec {x}})$ линейно зависима, то ${\vec {x}}$ есть линейная комбинация системы векторов A.(докажите самостоятельно).

4.  Пусть даны две системы A={${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},...{\vec {a}}_{k}$} (3), B={${\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},...{\vec {b}}_{l}$} (4) при этом: 1) A - линейно независимая система векторов  2) каждый вектор системы A линейно выражается через B. Тогда число векторов системы A не превосходит числа векторов системы B, т.е. k≤i.

Доказательство

Прежде отметим, что 1) всякий вектор данной системы может быть линейно выражен через векторы этой же системы. Например, для системы A (3) ${\vec {a}}_{i}=0{\vec {a}}_{1}+...0{\vec {a}}_{i-1}+{\vec {a}}_{i}+0{\vec {a}}_{i+1}+...+0{\vec {a}}_{k}\quad i=1,2...k$ 2)Если некий ${\vec {x}}$ линейно выражается через систему A, а A выражается через B, то ${\vec {x}}$ можно выразить и через B, т.е. отношение "линейно выражаться через"для системы векторов является транзитивным (переходящим).

Перейдём теперь непосредственно к доказательству. Припишем к системе B слева вектор ${\vec {a}}_{k}$:

${\vec {a}}_{k},{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},...{\vec {b}}_{l}$   (4)

.Т.к. ${\vec {a}}_{k}$ линейно выражается через B, то B - линейно зависимая система. Поскольку ${\vec {a}}_{k}\neq 0$ (иначе A линейно зависима), то один из векторов системы B, согласно свойству 1, линейная комбинация прочих векторов системы (4). Пусть для определённости это будет ${\vec {b}}_{l}$. Выбросим ${\vec {b}}_{l}$ из (4):

${\vec {a}}_{k},{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},...{\vec {b}}_{l-1}$  (5)

. Вектор ${\vec {b}}_{l}$ линейно выражается через (5)— он по этой причине выброшен из (4), остальные векторы из B входят в (5), а значит, согласно первому замечанию, тоже линейно выражаются через (4). Значит вся система B линейно выражается через (5), а по транзитивности через (5) линейно выражается и система векторов A. Следовательно, если к (5) приписать слева вектор ${\vec {a}}_{k-1}$, то получим линейно зависимую систему векторов:

${\vec {a}}_{k-1},{\vec {a}}-k,{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},...{\vec {b}}_{l-1}$  (6)

. Т.к. ${\vec {a}}_{k-1}\neq 0$, то по свойству 1, один из векторов системы (6) линейная комбинация прочих векторов системы (6). Пусть для определённости это будет ${\vec {b}}_{l}$. Выбросим ${\vec {b}}_{l}$ из (6). Будем продолжать описанный выше процесс замещения векторов системы B векторами из A. Допустим, что k>l. Тогда после l-шага векторы системы B исчерпаются и мы получим систему векторов ${\vec {a}}_{k-l+1}...{\vec {a}}_{k}$, приписывая к которой вектор ${\vec {a}}_{k-l}$, мы получим линейно зависимую систему векторов, являющейся подсистемой системы A. Но тогда, по свойству 2, A-линейно зависима. Значит , неверно, что k>l, остаётся, что k ≤ l, ч.т.д.