Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Линейно-зависимые системы векторов

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

В курсе школьной геометрии-10 доказывается, что 1)если вектор , то такие векторы коллинеарны 2)если вектор можно разложить по двум другим векторам, то такие векторы компланарны. Настоящий § является обобщением этих теорем для любого векторного пространства.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторовПравить

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={ } (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор   называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры  , то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и  ). Если хотя бы один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

  • Определение 1: система векторов A называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна  , (т.е.   )
  • Определение 2: система векторов A называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная  .
Упражнения и примеры

На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания 

  1. Покажем, что A={ }-линейно независимая система.
Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) ↔ (α,0)+(0,β)=(0,0) ↔ α=0, β=0, следовательно, A линейно независимая система.
  1. Покажем, что A={ } - линейно зависимая система.
Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную  .

 , т.е.  

  1. Элементами векторного пространства V являются линейные функции (т.е. вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно зависимыми (независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2)   2) B=( y=2x+12, y=x-√3, y=x+6)

СвойстваПравить

  1. Cистема векторов A линейно зависима ↔ один из её векторов равен   или один из векторов есть линейная комбинация прочих векторов системы.
    Доказательство

(→): если A линейно зависима, то, по определению, не все коэффициенты в    (1) комбинации равны 0. (Для определённости запишем комбинацию так, чтобы сначала шли ненулевые коэффициенты, а потом нулевые). Возможны два случая: 1)только первый коэффициент не нулевой, 2)два и более коэффициента не нулевые. В первом случае получаем  , откуда  . Во втором случае равенство (1) принимает вид    (2). Т.к. все коэффициенты от   до  в (2) не равны 0, то (2) можно переписать так  , т.е. один из векторов линейно выражен через другие векторы.
Обратное (←) докажите самостоятельно.

2.  Если система A содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система A линейно зависима. В частности, система векторов линейно зависима, если она содержит нулевой вектор, или равные векторы, или пропорциональные (коллинеарные) векторы.(докажите самостоятельно)

3.  Если A - линейно независимая система векторов, а система   линейно зависима, то   есть линейная комбинация системы векторов A.(докажите самостоятельно).

4.  Пусть даны две системы A={ } (3), B={ } (4) при этом: 1) A - линейно независимая система векторов  2) каждый вектор системы A линейно выражается через B. Тогда число векторов системы A не превосходит числа векторов системы B, т.е. k≤i.

Доказательство

Прежде отметим, что 1) всякий вектор данной системы может быть линейно выражен через векторы этой же системы. Например, для системы A (3)   2)Если некий   линейно выражается через систему A, а A выражается через B, то   можно выразить и через B, т.е. отношение "линейно выражаться через"для системы векторов является транзитивным (переходящим).

Перейдём теперь непосредственно к доказательству. Припишем к системе B слева вектор  :

    (4)

.Т.к.   линейно выражается через B, то B - линейно зависимая система. Поскольку   (иначе A линейно зависима), то один из векторов системы B, согласно свойству 1, линейная комбинация прочих векторов системы (4). Пусть для определённости это будет  . Выбросим   из (4):

   (5)

. Вектор   линейно выражается через (5)— он по этой причине выброшен из (4), остальные векторы из B входят в (5), а значит, согласно первому замечанию, тоже линейно выражаются через (4). Значит вся система B линейно выражается через (5), а по транзитивности через (5) линейно выражается и система векторов A. Следовательно, если к (5) приписать слева вектор  , то получим линейно зависимую систему векторов:

   (6)

. Т.к.  , то по свойству 1, один из векторов системы (6) линейная комбинация прочих векторов системы (6). Пусть для определённости это будет  . Выбросим   из (6). Будем продолжать описанный выше процесс замещения векторов системы B векторами из A. Допустим, что k>l. Тогда после l-шага векторы системы B исчерпаются и мы получим систему векторов  , приписывая к которой вектор  , мы получим линейно зависимую систему векторов, являющейся подсистемой системы A. Но тогда, по свойству 2, A-линейно зависима. Значит , неверно, что k>l, остаётся, что k ≤ l, ч.т.д.